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January 16, 2015

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曲率辨析

作者: physixfan

今天才意识到,学物理的人说二维曲面的曲率(curvature)的时候,其实有两种不同的定义... 一种是微分几何里那种定义(Gaussian Curvature);另一种只是简单的定义为曲面函数的拉普拉斯算符(Laplacian)... 而且貌似很多人在说起曲率的时候理所当然的都觉得大家都用的自己的那种定义,而不知道有另外一种定义存在,于是造成了我对这个概念一直以来就有点混乱,现在终于清楚了... 这篇文章稍微详细的辨析一下这两种曲率的定义。

首先我们假定研究的是二维曲面 f(x,y),然后假定曲面上的两个 Principal Curvature\kappa_1\kappa_2

(1)曲率的第一种定义 Gaussian Curvature 为 K_G=\kappa_1*\kappa_2。这种定义是微分几何中会见到的定义,这种曲率是 intrinsic 的,是那个跟三角形内角和的大小直接联系的曲面曲率,见 Gauss-Bonnet Theorem

(2)曲率的第二种定义 Extrinsic Curvature 为 K_E=\kappa_1+\kappa_2。还有一种与之相关的名称是 Mean Curvature,K_M=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)=\frac12 K_E,这二者只相差一个无关紧要的系数。Extrinsic Curvature 有这样一个性质:在曲面的梯度很小这一近似下,Extrinsic Curvature 与 曲面函数的 Laplacian 是相等的,这类似于一维曲线的曲率与二阶导数相等,具体讲解可见这个讲义。物理里经常会见到有人把拉普拉斯算符直观地解释做曲率,需要注意的就是这里其实指的是 Extrinsic Curvature 而不是 Gaussian Curvature。

这两种曲率的定义在不同场合之下都有人用,但是其实这两种定义很不同。举两个例子:

a. 考虑圆柱面。其 Gaussian Curvature 为零,但是其 Extrinsic Curvature 非零。

b. 考虑这样一个曲面:f(x,y)=x^2-y^2。如果想象不出来曲面的图像可以看这里。其 Gaussian Curvature 非零,但是其 Extrinsic Curvature 处处为零。

从以上两个例子中可以清楚地看到两种定义的不同。虽然例子中的两个面都是曲面,但都在一种定义下曲率为零,可见两种曲率都不能完全地反映直观意义上面的弯曲。。。

总之这两种定义还是需要小心区分一下的,不要像我以前一样总是说道曲率就以为是 Gaussian Curvature 而没有意识到其实有的人说的曲率其实是第二种意思...



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