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Posts tagged ‘悖论’

31
Jan

辛普森悖论:诡异的男女比例

大学的男女比例问题一直是广大宅男同胞所关心的重大问题,也是高中同学聚会时必然谈起的话题,对于选择大学来说,这也是一项重要指标~..

一天,我拿出两个大学(P大和T大)的统计数据开始研究。“物理学院,P大男女比例大于T大;数学科学学院,P大男女比例又是大于T大...哇,怎么所有专业P大的男女比例都高于T大啊...那还犹豫什么呢,我肯定报T大了!”正当我刚刚心意已定的时候,突然看到了统计数据的最后一行:P大的总体男女比例低于T大!“什么?!有没有搞错?怎么可能P大的所有专业男女比例都高于T大,但是整体男女比例却低于T大了呢?!肯定是哪里算错了吧...”于是我拿出计算器狂敲,却发现没有任何一个计算错了的数据,这种情况真的可能发生吗?

多说无益,请看下面编造出来的一份男女比例数据:(其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业)

物院的数据:

男生人数女生人数男:女
P大4585.6:1(大)
T大101512.0:1

外院的数据:

男生人数女生人数男:女
P大502010.25:1(大)
T大9920.10:1

学校整体数据(即上述两个专业人数之和):

男生人数女生人数男:女
P大952090.45:1
T大1101430.77:1(大!)

数据可不会是骗人的,不信可以自己动手验算一下,真的出现了这种违背常理的情况!这种现象被称为“辛普森悖论”,虽然这么叫,但其实这不是个真正的悖论,它内部没有包含逻辑上的矛盾,只是违背了人们的常理。

可能有些人还是一头雾水,虽然数据是如此,没错,可是还是不能理解到底发生了什么使得结论如此古怪。让你构造出来一个类似的数据,恐怕你也很难直接想得出来吧!人们对几何图形的想象力总是好于对数字和字母,因此为了更直观地表现出辛普森悖论,我们看下面一副向量图:

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12
Nov

上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?

小时候看《时间简史》,对里面一副插图里的话印象很深:“上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?”,从此我便把它作为上帝不是万能的这一命题的证明。因为,如果你回答“能”的话,那么上帝就连某块石头都搬不动;而如果你回答“不能”的话,那么上帝就连一块满足某条性质的石头都造不出来,他也不是万能的。

但是,其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。

这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上,对于定义有一条不起眼的要求,那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数,从理论上来说我得证明这种数是存在的,我们可以举个例子来证明其存在性,比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符,我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊...我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然(举个例子就可以了),因此在课本里从来不出现,但是这绝不意味着存在性证明没有用,尤其在抠逻辑漏洞的时候。

比如说吧,我要定义一种数叫做“蛋疼数”,他被定义为“大于2的偶质数”,显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论,看上去完美无缺而且非常漂亮,可是回过头来一看,哎呀,蛋疼数居然不存在,那整个理论体系的根基就倒塌了。

再比如说,我要定义一种数叫做“牛逼数”,他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”,很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数...这样,牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例,这可实在不是一件很显然的事情...

好了,回到上帝是不是万能的问题上来。 Read moreRead more

28
Sep

潜水艇悖论

在爱因斯坦的狭义相对论提出之后,人们就从它出发提出了各式各样奇妙的悖论,比如著名的孪生子悖论、堵火车悖论等,仔细分析这些悖论到底是怎么被消除的,将十分有利于加强我们对相对论的理解。目前我见过的最难想的悖论,莫过于这个“潜水艇悖论”了。

首先假设一艘完全浸没在海中的潜水艇,在相对海水静止时能不升不降地正好保持平衡,然后再假设它在与海面平行的方向上以接近光速行进。基于物体长度会在运动方向上收缩的相对论效应,在海面上固定船只上相对海水静止的观察者看来,潜水艇本身会收缩,密度会变大,并最终下沉。但潜水艇上的船员们看到的却是飞速向后的海水在收缩,密度在变大,他们会得出结论认为,由于海水密度变大后产生更大浮力,潜艇将漂浮而上。按照相对论,两种看法似乎都没有错,潜艇到底是沉或浮的悖论由此而生。

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4
Jun

意料之外的绞刑

今天是2012年12月20日。

正当我在玩三国杀OL玩的正High的时候,突然宿舍门被一脚踢开,几个黑西服黑墨镜的彪形大汉冲了进来,一顿拳打脚踢之后把我按到了地上,其中一个开口对我说道:“Eagle_Fantasy,你于2010年6月4日在Innernet上发表了不和谐文章,犯了十恶不赦的思想罪。你有权保持不沉默,但我们很快会让你沉默的。”

于是,我被天朝的思想警察带到了黑漆漆阴森森的监狱中,我一看,旁边还坐着我同学lbywsm。

党说:“你们两个人都犯了在天朝最罪大恶极的思想罪,证据确凿,我宣布党将于今年结束之前在你们意料之外的一天对你们处以绞刑。”说罢便转身离开。

我们俩瞬间便瘫坐到地上。

突然,我嘴角微微上扬。

lbywsm问道:“为啥冷笑?”

“我忽然发现,党这样宣判我们实际上是对我们开恩了,我们最终会被释放。”

“怎么讲?从今天到2012年12月31号之中的任何一天党都有可能处死我们,而我们是不知道究竟会是哪一天的,所以哪一天都会出乎我们意料之外啊..”

“你仔细想一下,假设我们顺利的活到了12月31日,党说要在今年结束之前处死我们,是不是我们就可以确定党要在12月31日那天处死我们了?这样的话不就在我们意料之中了吗?这就跟党说过的话矛盾了。于是,我们可以确信,党不会在31号处死我们。然后再往前推,如果我们活到了30号,而我们又可以确信党是不会在31号处死我们的,于是我们就知道党将在30号绞死我们,可是我们也预料到了这一点,于是党也不能在30号处死我们……”

“于是,如果继续往前推的话,也就是说,党不能在任何一天绞死我们,否则就自相矛盾了?”

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18
May

一个电磁学“佯谬”

高中时候看到《费恩曼物理学讲义》第二卷17-4《一个佯谬》的时候,非常困惑,如今终于明白了一些,虽然具体的计算工作还做不了。这个佯谬是这样的:电磁

试想构造一个如右图所示的装置。一个绝缘的圆盘通过摩擦力可以完全忽略的轴承套在一个轴上,可以自由旋转。圆盘上,放着一个与之同轴的线圈,通过这个线圈的电流由同样是放在圆盘上的一个小电池提供。圆盘的边缘上固定着一些金属球,注意它们是和圆盘固连在一起的,这些小球每一个都带有一定的电量Q。现在初始条件为有电流通过,整个装置静止不动。

现设想,如果突然切断电源旁的一根导线导致电流变为0,整个圆盘会发生转动吗?电流减小,导致通过线圈的磁通量减少,而磁通量的变化会在空间中激发出感生电场,感生电场的方向为圆形,可以使全部带电的金属球受到圆盘边缘切向方向的力,从而产生一个净力矩导致整个圆盘转起来。然而,从另一个角度来分析,将得出截然相反的结论:因为切断电源的力大小可以忽略,对整个系统没有力矩的贡献,所以整个系统角动量守恒,圆盘仍然将保持不动(整个系统包括圆盘、金属球、线圈以及电源)!

为什么两种途径的分析会产生截然不同的结果呢?真实的物理情景到底是转还是不转呢?

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15
Sep

直上九宵的指数方程

有一道很简单的小问题:求解方程

\Large x^{x^{x^{x^{...}}}}=2

这样的方程解起来是很简单的,因为最低下的x的指数是他本身,即它的指数是2,因此该方程等价于x^2=2,立刻解得x=√2。

但是,如果题目地形式稍微一变,变成这个样子:

\Large x^{x^{x^{x^{...}}}}=4

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了,既然如此,那么表达式

\Large \sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{...}}}}

到底等于几呢?2还是4?

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