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August 22, 2007

15

一个有趣的级数

作者: physixfan

估计有不少人知道这样一个公式,1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=π/4

我很小的时候就见过这个,貌似叫莱布尼茨公式,觉得相当有意思,一些自然数的加减乘除居然出现了π!之后我对这个公式思考了好长时间,总是想不出来怎么来证明。我一直把这个问题记在心里,期盼着那一天能找到他的证法。

我曾经专门找过微积分的书和有关级数的数,遗憾的是,这么经典的一个无穷级数求和居然都没有写到。我近日在数学吧问了一下,好象没有初等数学的证明,有人贴出来了一个不过我没看明白。
有意思的是,今天在读《费曼物理学讲义》有关谐波的章节时,居然看到了这个等式的证法!呵呵,我都惊喜得不行了,居然在经典物理书里面看到了有意思的数学证明!我想把这个证法贴出来,供大家欣赏,相当精彩啊,不过没学过微积分的就不用看了。

15 Comments Post a comment
  1. 鲲鹏
    May 18 2008

    这个证明是有缺陷的,在于两点
    1,未说明为何级数和积分可以交换
    2,x=1时,那个展开是错误的
    事实上,如果一个函数项级数一致收敛于一个连续函数,那么可以逐项积分,也可以逐项求极限。

    此证明的改进:先考虑abs(x)1,逐项求极限。

    我不知道你看的微积分书是哪本,如果是那种面向工科以及经济类的教材的话,确实可能不写这种东西。
    不过我用的教材里,这个题是一道例题。

    Reply
    • May 18 2008

      我看的是一本经济学类的微积分教材,当时我也不知道哪一本比较好就随便买了一本,也没找专门给数学系用的...看来我得买本写的全一点的微积分教材了...

      Reply
    • 七七
      Dec 12 2009

      1.改进楼上的说法:
      级数的每一项在敛域中连续,且一致收敛,则其和函数在敛域中连续,可以逐项求积分,逐项求极限。
      2.不理解为什么x=1时是错的,这个收敛区间是[-1,1],显然当x=1时,f(x)=x-x^3/3+……+(-1)^n(x^(2n+1)/2n+1)是交错级数,满足莱布尼茨判别法的呀
      ps:建议Eagle tx去看下 数学分析 数学系基础课之一

      Reply
      • 鲲鹏
        Dec 17 2009

        抱歉,这里我没说清楚。我说的是(x=1时,过程中的那个1/(1-a)展开是错的),而不是说(x=1时,最后那个等式是错的)。
        话说时间真是过得飞快,当年回这个东西的时候我还是大三,现在都研一了……

  2. 鲲鹏
    May 18 2008

    抱歉,刚刚输入的时候好像出了点问题。我把证明思路再写一遍。

    1,考虑abs(x)小于1,展开
    2,逐项积分
    3,令x趋向于1,逐项求极限

    Reply
  3. shawtung
    May 24 2009

    柯朗的《什么是数学》这本书上有,证明和这个一样。微积分部分写得很不错,还有很多有趣的级数的推导,推荐一读。

    Reply
  4. hxl268
    Sep 3 2009

    极显然:自然数集增或减一元就变为非可数集了
    ——中学重大错误:将两异集误为同一集
    黄小宁(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    [摘要]编序号常识使“潜藏”5千年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形,同时使统治数学的集论露出百年病魔原形。“有胡子的,不一定是爹。”2,3,...,n+1,...不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误:搞错了y=n±1等函数的值域而将两异集误为同一集。
    [关键词]标准及非标准无穷大自然数;假自然数集;自然数公理;集论;函数的值域;可数无限集的定义;推翻

    化学曾被错误的燃素说统治百年。无独有偶,[1][2] [3]揭示数学也被极荒唐的集论统治百年。
    一、存在奇数与偶数不一样多的是假自然数集
    如[1][2]所述,非0自然数列(1,2)(3,4)...=N的奇数与偶数能一一配对而无一“单身”,而其各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得:1(2,3)(4,5)…= N′中的1就只能“单身”,除非拆散某“夫妻”,即其奇数与偶数不一样多!故N′是似是而非的假N!而且关系式y=n+1>n=1,2,…(数列N)也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2,3,…中有超自然数y>N的一切n!由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千年!
    同样,N各项都由n变为n-1后再去掉首项0得1(2,3)(4,5)...中的1就只能“单身”,故其≠N!正整变数n>n-1=0,1,2,…也一目了然地表达n必可>数列L的一切数n-1——意味n=1,2,…中有自然数n>L的一切n-1!故L并非自然数列!
    {1,2,3,…}=N′
    {1,2,3,…}=N
    自识自然数5千年来一直无人识破此{n}≠彼{n}就使人不知百年自然数公理“N的各元n都有后继 n+1∈N”是一种错觉。从而使康脱…。以上拨开5千年迷雾地说明“N′=N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途:据N各元n的斜上方都有n+1∈N′而断定…,使人们坚信:谁说推翻了百年自然数公理和集论谁就是想出名想到疯了!
    两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U增一元得U的真扩集U+{a}=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。由存在上述“单身”元的原因得
    h定理1(真扩集定理):无穷集F~G的真扩集F+D=K必不~G而至少比G~F多含一元.
    证:K=F+D的一部分F~G的元(阳)与G的元(阴)一一阴阳配对就将G的元都配光了,K还剩下D的各元都只能“单身”而无“妻”∈G,除非拆散已配对的相应多对“夫妻”;表明K至少比G~F多含一元。证毕。
    二、太浅显编序号常识证实太惊人真相:此1,2,…,n,…之外还有名亡实存的无穷大自然数
    王元、万哲先等译《数学——它的内容,方法和意
    义(3)》8页:若集合A的元素可以用全体自然数来标记:元1,元2,...,元n,...(所有标记数n组成自然数列1,2,3,...=N——黄小宁注)则A 是可数无限集。(此书将0排除在N外,本节遵从此约定。)对此定义要抓住3要点:①A的元都可以配上自然数号码。②必须用完一切自然数。③A~N表示用N的一切数将A的元都配上自然数号码。 A不~N有2种情形:⒈ N不够用而不可将A各元都配上…。⒉N用不完即仅用部分自然数就能将A各元都配上…。上节揭示“各元可排为一无穷序列的集就是可数无限集”是错误的定义。
    显然用自然数n标记U~N的各元就无一遗漏地用光一切自然数了,否则U的元与N的元就不一样多了。否认此事实者,反映其连U~N 的含义都还未弄懂。故H= U+{a}中的a已没有自然数为其标记而须用别的数如超自然数来标记,即H是不可数集——其元不可都用自然数来标记,原因是N不够用。“拆东墙补西墙”地重新编号不能改变N不够用的事实。且据h定理1 U不可~U+{a}。
    据h定理1,F+D(F~N)必不~N(N不够用);可数
    无限集M的任何一部分E~E都不~E的真扩集M(仅用一
    部分自然数就能将E的各元都配上自然数号码)。
    例如将N的偶数都编上自然数号码:2=2号数,…,
    2n=2n号数,极显然:N的奇数都没有用到。重新编号: 2n=n

    号数,所有编号数n=1,2,3,…组成V。极显然:因N是可数集,故还可将N的奇数都编上自然数号码:1=m号数,3=m+1号数,…,显然m只能是V外自然数>V的一切n!这证明V只是N的一部分!将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识:“部分可=全部”。说对N的偶数都编上…就用光一切自然数了,显然是与①②③相矛盾的。其实只是用光V的一切自然数罢了。
    “大道至简至易。”关键:各2n∈N都有编号数n∈VÌN的同时各2n-1∈N也都有编号数∈WÌN,显然V+W=N,W的各数都在V外!——53字符使“潜藏”5千多年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形,同时显示“N的真子集可~N”是百年重大误解。
    反复强调:据①②③将无穷集EÌM~N各元都配上自然数1,2,…(数列A)后, M-E各元也都必配有数列A外的自然数t,t+1,….故数列A并非自然数列!
    故如[1][2]所述若N的一切n都有对应2n>n则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。
    故定义域为N的y=2n>n的值域Z~N不是N的真子集,
    中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。
    显然相应有各项都可用自然数来标记的可数级数(项
    1+项2)+(项3+项4)+…,其各项可一一配对而无一“单身”。奇数项为-1偶数项为1的发散可数级数s=(-1+1)+(-1+1)+...=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”,而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。形成鲜明对比的是s增添新首项1得1+s=1+∑(-1+1)=1就打破了各项可一一配对的格局:其首项1只能“单身”,即其奇数项与偶数项不一样多!从而使其正数项与负数项不可一一抵消为0。这1+s显然是非可数级数!注!1+∑(-1+1)的各项不可一一配对,故其不可加括号为∑(1-1)。…。
    可见,可数无限数列(级数)增奇数个项后就成为非可数无限数列(级数)了。显然相应有
    h定理2:其奇数号元与偶数号元不可一一配对的“可数无限集”是似是而非的假可数集。
    1+1+∑(1-1)=2缘于其所有1组成{1}的项多于所有-1组成{-1}的项。故此{n}的项可多于彼{n}的项。
    三、结束语
    标准分析之前的几千年数学求圆周长须先将圆无穷多等分再…的过程就是在使用一直在数学中起举足轻重作用的无穷数,否定它只是近百多年来的事,以上表明这是百年重大寃案。否定无理数的数学自相矛盾,否定无穷数的数学也必自相矛盾,从而极难学难教。
    “1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见:下一代人将把集论当作一种疾病且人们已经从中恢复过来了。注意到这是集论问世30年后的预言,故有非凡科学洞察力的庞大师是对集论起码思考研究了20年才慎重作出此经深思熟虑的天才预言的。在一片叫好声中,智慧超群的天才大师超越时代地清醒坚信:凡不合实际违反真正物理常识的理论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认的“真理”的回天力[3]。”
    参考文献
    [1]黄小宁,百年集论使人犯极荒唐常识错误:0-1010=0 ——再论形如{1,2,3,...,n,...}一般都有末项 [J],科技信息,2009(1)。
    [2]黄小宁,百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J],科学中国人,2009(4)。
    [3]黄小宁,驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形
    ——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J],今日科苑,2009年8月下半期:267.
    电联:13178840497
    E-mail:[email protected](hxl中的l是英文字母)

    Reply
  5. mark
    Nov 15 2009

    普通的高等数学书上是有的,很简单的泰勒展开吧,我记得

    Reply
  6. Nov 14 2010

    首先,函数arctanx是在实数范围内都有定义并且连续的,从图象可以看出这一点。直接利用泰勒展开就可以得到最终的结果

    Reply
  7. Nov 28 2012

    这形式一看就是taylor展开啊。不难证咯

    Reply
  8. Dec 20 2012

    Fourier 级数中的问题

    Reply
  9. Jun 10 2013

    弱弱的说,x=1的时候不是相当于a=-1吗?这时,那个展开右边不是没有极限吗?应该有一点问题吧。

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