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August 24, 2007

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一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

作者: physixfan

今天看到《数学家的眼光》(张景中著)写到了一个巨赖皮的数学证明方法,叫例证法,看完我都惊得不行了,就写到这里来和大家分享一下。
为了说明例证法,我们举一个简单的例子。试证明:(x+1)(x-1)=x^2-1。我们假设我们不会做(这不是在贬低你的智商阿)。现在我就讲一个所有人都肯定能学会的方法,用例证法来证明!

证明:令x=1代入原式,发现等式成立。
令x=2代入原式,发现等式成立。
令x=3代入原式,发现等式成立。
所以原式恒成立。

你看了可能会狂笑不止,有种想揍我的冲动,这什么东西,举了3个例子就说证明了原式?证明等式成立可必须是所有x都满足才行啊!可是,且慢,我可以告诉你,这样证明是严谨的。不信就听我仔细分析。分析一下原等式,发现x的最高次是2次。根据代数基本定理,这个式子如果不是恒等式就有两个根。现在我们举了3个例子,即便前两个正好就是两个根,那么第三个数代进去又成立了,就说明原式是恒等式了!

其实,只要代一个数也可以,要保证这个数不是原方程的根就可以了,这个数应该足够大,例如上题取x=10就行。至于“足够大”的条件,还是挺麻烦的。

怎么样,这个例证法神奇吧!

我们还可以把它推广,如果有多个未知数,例如想要证明(x^2+y)(x^2-y)=x^4-y^2,我们只要把x附5个值,y 附3个值,一共代15组数进去验证就可以了。这个题也可以取一组数进行验证,(10,10000)就行。
据说,我国一个数学家甚至把例证法推广,利用解析几何把普通几何题转变为类似的代数问题,就可以用例证法来证明了!

不知道,如果我在高考的时候用这么个方法,老师会给我几分?呵呵。

13 Comments Post a comment
  1. 走走看看
    Jan 8 2008

    从阅微堂进你的Blog,简直叹为观止
    一个高中生?

    PS:八百年前我高考,物理出其地烂,从此仰慕所有物理精英

    Reply
  2. yYc
    Apr 25 2008

    你的文章让我惊叹,特别上看到用基础微积分推导欧拉方程的时候(最小作用量原理4)

    Reply
    • Apr 26 2008

      谢谢夸奖!
      不过那段推倒主要是来自《费恩曼物理学讲义》,不是完全我自己推的

      Reply
  3. xiaowu
    Apr 29 2008

    (x+1)(x-1)=x^2-1是恒等式
    那么任何一个数都是这个方程的根
    怎么可能找到不是这个方程根的数?
    只要代一个数也可以,要保证这个数不是原方程的根就可以了,。。。这个说法好像有问题!

    Reply
    • Apr 30 2008

      貌似是有点问题,我还以为只有不是恒等式的方程解出来的东西才叫根...能明白我的意思就行,我也找不出更好的说法...

      Reply
  4. Vortex
    May 13 2008

    这种证明方法还是第一次听呢...
    很变态的证明啊....

    Reply
  5. obtuseSword
    May 28 2008

    我想例证法的潜力在于容易引入到“机器证明”中吧。 而张景中院士好像也是研究机器证明的。

    Reply
  6. manson
    Aug 24 2008

    很奇妙的证明。

    Reply
  7. Dec 31 2008

    问题是,代数基本定理并不是很初等的定理

    Reply
  8. NuclearOrange
    Jan 1 2009

    怎么证不等式嘞?

    Reply
  9. Apr 13 2013

    什么意思?为何只代x=10就可以了

    Reply
  10. 挖坟
    Aug 29 2016

    判定矩阵A,B乘积是否为C就可以用这个办法,其必要条件为ABX=CX,取X为尽量简单的列矩阵,得到一个概率1 的算法。

    Reply
  11. 紫陌微微弄袖风2
    May 14 2018

    为啥我高中就会了

    Reply

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