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October 19, 2011

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人走路时为什么要甩手——角动量守恒

作者: physixfan

大家也许小时候都有过一个疑问:人们走路的时候为什么要甩手呢?为什么如果走顺拐了会感觉特别别扭呢?一个很常见的解释是,为了保持身体平衡..这种解释了和没解释没什么区别的答案是永远正确的,但问题是具体甩手是怎么保持身体平衡的?

为了讲清楚这个现象,需要先引入一个叫角动量的概念。(本文中所研究的现象只涉及绕轴的旋转,因此在这里就引入一个角动量的简化版本的定义好了。)对于一个质量为m质点:先随便找一条直线作为参考轴,设被研究的质点到这条轴的距离为r,如果质点垂直于r方向的速度为v,那么这个质点(相对于参考轴)的角动量则为L=rmv。如果被研究的物体不是质点,例如是一只人类,那么她整个的角动量是她身上所有质点的角动量之和。

定义了角动量之后,可以通过简单的推导立刻推出一个非常牛逼的性质,角动量定理:物体的角动量变化率等于它所受的外力矩。(大家应该记得力矩是什么吧..就是r乘以垂直于r方向的力。)于是乎,倘若系统没有外力矩作用,那么角动量就华丽丽的守恒了:此即为传说中的角动量守恒!这种情况是十分多见的:例如一个旋转着的陀螺,为什么它不会很容易倒下呢?原因就在于角动量守恒:就选取陀螺的转轴为参考轴,那它就是不受外力矩的,因此它的角动量守恒,因此在理想情况下它将一直转下去。大家还记得动量p可以写成p=mv吧,于是角动量L就等于r×p。因此角动量守恒就可以被称之为rp守恒~!(这只是非官方叫法,莫当真。。。)

角动量守恒与能量守恒、动量守恒这三个守恒定律,是这个宇宙中最基本最牢不可破的三条定律,它们都是我们宇宙基本时空性质的反应。根据理论力学中的一个深刻的定理——诺特尔定理:能量守恒等价于时间平移对称性,即物理定律并不随着时间的流逝而发生改变;动量守恒等价于空间平移对称性,即物理定律并不随着空间地点的改变而改变;角动量守恒则等价于空间各向同性,即物理定律并不随着空间朝向的改变而改变。

回到本文一开始的问题上来。

我们选取过人的质心与地面垂直的直线作为参考轴。右脚踩在地上而左脚往前迈时,左脚一个相对于轴向前的速度,而右脚有一个相对轴向后的速度。假设我们的手不甩的话,他们对身体总角动量就没有贡献,于是身体有了一个绕参考轴顺时针旋转的角动量。而当左脚踩在地上而右脚向前迈进时,相应的,人的身体具有逆时针旋转地角动量。根据角动量定理,角动量只要发生改变,就必须有力矩作用在系统上。因此脚底必须给身体一个让其逆时针旋转的力矩,这是走路时身体受到外力矩的唯一方式。但是注意到脚底给身体的合力必须是零,否则人没法匀速走路了,因此这个力矩得是一对等大反向而作用点不同的力产生,必须是脚底板和地面有个相对的旋转运动才能产生出来。然而这种脚底转着搓地的动作想想都觉得难受,我们的身体大概没有进化出专门干这种诡异事情的肌肉。总结一下就是:如果不甩手,脚底板就要承受很别扭的转着搓地的运动。一般来说人们在走路时是不会选择后者的,因此就必须甩手。

当我们认可了脚底不会去转着搓地之后,人的身体整个就没有外力矩了,进而有角动量守恒并且等于零。换句话说,根植于潜意识中的走路程序始终是在维持着身体的角动量守恒。以此就可以很轻松地看出我们应该如何甩手了:当两腿让身体有顺时针旋转时,双手就必须让整体再有个逆时针旋转,即哪边的腿往前迈,哪边的手就必须往后甩,这样才能让整体角动量保持为零,这就是正常的甩手方式;而如果顺拐的话,手和腿朝着同一方向,显然无法让整体角动量为零,这样走路的话就又需要脚底板难受了。这就是走路甩手奥秘的全部。

角动量守恒在生活中还有许许多多的应用。

一个例子是可以很轻松地解释直升机的尾翼是干嘛用的。小时候我也好奇为什么直升机都配备一个尾翼,似乎直升机只要一个大的螺旋桨提供升力就够了啊。可是用角动量守恒去一分析就可以知道,如果没有尾翼,直升机系统是角动量守恒的,因为起飞时角动量为零,因此会一直为零。而直升机的螺旋桨是一定要旋转的,这就让直升机无可奈何,只有机身拼命地往相反方向去旋转才可能保证总角动量始终为零。在没有尾翼的情况下,这种反向旋转是不可避免的,任何巧妙的机械都无法实现让他不转。因此为了让机身不转,必须打破角动量守恒,这就要提供外力矩,尾翼就是用来干这事的。

《意料之外的绞刑》(马丁·加德纳 著)里提到了一种有意思的东西,叫翻身陀螺,上图就是一个例子。它是一种特殊的陀螺,就是它在绿色朝下旋转的时候,会因为不稳定而自动翻身,翻成绿色朝上然后稳定地旋转。翻转的道理先不用管,问题是:一开始让他顺时针旋转的话,翻身之后他是逆时针转还是顺时针转呢?也许没有接触过角动量概念的人会觉得是逆时针转,因为陀螺好像不太可能停下来然后换个方向转,而直接把陀螺倒过来看貌似就是逆时针转的了。可是当我们知道了角动量守恒之后,就可以轻松判断一定会仍然顺时针旋转了。我们甚至根本不必关心翻身的过程到底有多复杂,这就是用守恒律去研究问题的一大好处。

最后再来一张xkcd的漫画,相信明白了角动量守恒的你们应该能看得懂了:

//原载于果壳网。出于某种大家可以自行揣测的原因,我在果壳网发表时并没有用自己的ID。

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8 Comments Post a comment
  1. 墨水影
    Dec 14 2012

    两手左右摇摆也对角动量进行抵消,所以我认为手只是调节作用

    Reply
  2. Hellfire
    Jun 3 2013

    实践表明:角动量较小 无法察觉……反正我没感觉

    Reply

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