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October 2, 2014

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伯努利方程的适用范围

作者: physixfan

伯努利方程的适用范围这一问题由上一篇日志《开窗行驶的汽车 车内vs车外哪里压强更高?》所引起。如果按照伯努利方程的话,定常流动的条件要求以车为参考系来分析,所以是车内空气流速小故压强大。这一分析不仅仅是我一个人的答案,在网上搜此问题得到的答案基本都是一样的思路。但是网友@Chengu Wang指出,一篇论文《轿车开窗行驶时的气动阻力分析》里的数值模拟显示,车内空气流速虽然小,但是同时压强也低于车外。这让我深深困惑,因此这几天我自学了一下用Fluent做流体力学的模拟。自己完整地设置了所有条件,确保自己知道自己在干什么,最后得到的结果与前述论文中的相同:车内空气流速小同时压强也小。下图为 流场图和压强图:

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Screen Shot 2014-09-30 at 15.40.41

主要参数设置:大正方形为20m*20m的盒子,中心处两块4m长的板代表开了窗的车(虽说形状简陋了一点,但是模拟结果与更复杂的几何是类似的,所以为了简单我就没有继续做复杂的形状),流体模型为K-ϵ 2 Eqn湍流模型(换成Reynold Stress 5 Eqn模型得到的结果基本相同)。左侧的边界条件是流体速度以1m/s向右流动,上下是以相同速度向右移动的无滑边界条件的墙,右侧边界条件是流出口,代表车的两条板是无滑边界条件的固定的墙。

这一结果起初让我迷惑不解。但是其实仔细分析的话,伯努利方程的成立条件里其实是要求所研究的流体无黏性的,因此伯努利方程不能用来研究湍流的情况。而在这个问题当中,如果在模拟时忽略空气黏性用层流的模型去解,计算将发散,无法得到结果,因此只能用湍流模型去求解。这也是很自然的,算一下雷诺数很容易发现即使是1m/s这种很小的速度也会让流动变成湍流。另外,伯努利原理的推导过程中用到了无旋条件,即\nabla\times\mathbf{v}=0,在明显有漩涡的流场中这一条件并不成立。因此这个问题里,伯努利方程的确不适用。

推而广之的话,其实日常生活中的几乎所有流体问题,都是湍流问题。但是在很多情况下,即便如此,伯努利方程却依然可以近似成立,这也就是为什么在中学时代还是有很多问题是可以用它来解释的。那到底什么时候它近似成立什么时候就根本不能用了呢?我的回答是,不知道,目前我只可以说在有旋场的情况下不能用。。。Wikipedia里举了一些有趣的误用伯努利原理的例子。

对于车内压强低的物理解释(十分感谢知友 @Kaiser @马拉轰 的讲解!):这个问题中发生了边界层分离(Flow separation)现象,即车内空气流速接近于0同时产生了大量涡旋,这种情况下黏性变得十分重要,能量会在湍流过程中从大涡漩流动到小涡旋中最终在小尺度上被黏性耗散掉。因为能量的耗散,因此压强就降低了。

对于发生边界层分离的情况,之前我模拟计算时使用的模型(属于RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes equations) 模型)并不一定能够准确反映流体的真实情况,此时需要用消耗资源更多的LES (Large Eddy Simulation)甚至DNS (Direct Numerical Simulation)才能够更加准确的描述此情况下的流体。

 

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6 Comments Post a comment
  1. Apr 26 2016

    请问physixfan:台风中,停止在路边的汽车,车窗内外压力大小以当如何,能推算吗?谢谢!

    Reply

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  1. 【Update】开窗行驶的汽车 车内vs车外哪里压强更高? | 宇宙的心弦

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