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July 12, 2008

圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少?

作者: physixfan

贝特朗悖论圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少?

偶然间从庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)的《科学与假设》的概率演算这一章看到了这个命题,他最早由贝特朗提出,故又叫做贝特朗悖论。这一问题有三种解答,答案分别是1/2、1/3和1/4,我怎么也想不清楚到底哪一种是对的,其他的为什么错了,请路过的大牛们帮忙看一看。

解法一:由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

解法二:由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。

解法三:弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

这个问题的答案到底应该是多少呢?

顺便说一下,《科学与假设》里有一个观点我很认同,他觉得古典概型中概率的定义不严谨。定义:“若只有有限个不同的基本事件,且每个基本事件发生的可能性是均等的,则事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数。”可是,定义中出现的“可能性是均等的”如何判断?这是不是用概率来定义概率了?这样的定义不算循环定义么?

注:文中的三种解法及图片来自百度百科