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May 4, 2011

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常在雨中跑,如何淋最少

作者: physixfan

相信大家经常会遇到这样一种囧况:在教室上了一天课,终于熬到可以回宿舍了,结果出门发现下起了大雨,而这时你既没有带伞又没有ggmm替你撑伞,在这样的情况下如何才能使自己淋到的雨量最少呢?

有一种很自然的想法,那就是尽可能快的跑回宿舍。但是这样也不见得是最好的,因为在你拼命往前跑的时候,有很多本来落不到你身上的雨滴会被你迎面撞上。那么究竟怎样才能淋雨最少呢?奔跑速度和身体倾斜角度是两个最关键因素。

为了简化计算,我们近似的认为人体是个长方体,长 a 宽 b 高 h。假设雨滴匀速下落,水平速度 vx(vx可正可负),竖直速度 vy。设跑步速度为 u(如图1)。在地面上看,雨滴也在动,人也在动,看起来并不直观,于是我们切换到人参考系。在人参考系中,人是静止的,而雨滴的速度变为:竖直方向 vy,水平方向 vx(如图2)。如此一来,人应该以怎样的角度跑就显而易见了:在人参考系内,尽量让自己的身体和雨下落方向保持平行就可以了(如图3)。因为这样的角度可以保证只有头顶受雨淋,身体的其他侧面不会迎面撞上雨以及被雨打上。

容易算出身体的倾角 α = arctan [ vy / (vx+u) ]。

接下面来就要确定最优速度。假设人要走的总距离是一个定值,设为D,设在雨中被淋的时间为t,显然 t=D/u。再假设雨滴是均匀分布的,设其质量密度为 ρ。我们现在要计算落在你身上的雨水总质量 m。有哪些雨最终是落在你身上的了呢?从图3可以很清楚看出:以头顶(即长方体的顶面)为底面,高为 v’* t的那个长方体内的所有雨滴,就是落在你身上的所有雨滴。于是

m = ρV = ρab * v’* t

代入 v’的具体表达式:

所以:

于是我们剩下的任务便是求出上式的极小值。学过高数的人都知道用求导的方法就能算出来。具体细节这里就不写了,结论是:

当vx ≥ 0 时,也就是迎着雨跑时,那么 m 随着 u 的增大是一直减小的,也就是说,跑得越快淋雨越少,当然前提是你得按照上面的身体倾角去跑。

当vx < 0 时,也就是雨从背后打来时,那么情况稍稍有些复杂,当 u = -vy² /vx-vx 的时候淋雨量最小。我们可以大概的估计一下 u 的值:假设 vy = 3 m/s,vx = -1 m/s,得出 u = 10 m/s。这已经是100米跑的速度了,一般人都是跑不到这么快的。当 vx 的绝对值更小一些的时候(通常情况下vx绝对值就是更小),u 的极小值将会更大。

于是可以得出最后的结论:在雨中无论什么情况,只要尽可能的快跑,身体角度就按照 α = arctan[ vy / (vx+u) ] 的角度倾斜,就可以使总淋雨量最小啦。

当然,死理性派的分析只能是最简化的模型,实际情况肯定没有这么简单。于是,如果你真的很容易忘记在雨天带伞,那么其实最好的解决方案是:找一个心甘情愿为你撑伞的gg/mm吧!

//原载于果壳网

//我这篇发在果壳上的水文居然还神奇的装上了今年的高考题..见下图

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