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September 15, 2009

33

直上九宵的指数方程

作者: physixfan

有一道很简单的小问题:求解方程

这样的方程解起来是很简单的,因为最低下的x的指数是他本身,即它的指数是2,因此该方程等价于x^2=2,立刻解得x=√2。

但是,如果题目地形式稍微一变,变成这个样子:

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了,既然如此,那么表达式

到底等于几呢?2还是4?

这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看:为了求出这个数的上界(这个词貌似用的不太合适),把这个数顶上的√2用更大的数2来替代,则整个表达式坍缩为2,所以结果是不可能大于2的。因此实际上第二个方程是无解的...

看来一旦涉及到了无穷,什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出曾根哎...

//好长时间不学无术了哎 为了不荒废这块土地更新一下...

//来自《最迷人的数学趣题》

33 Comments Post a comment
  1. est
    Sep 16 2009

    > 因为最低下的x的指数是他本身

    这个错了吧?

    Reply
    • Sep 20 2009

      这里没有什么问题啊 最低下的x的指数和他本身形式是一模一样的

      Reply
  2. 严酷的魔王
    Sep 16 2009

    又记得是在哪里看过的- -

    Reply
  3. Sep 16 2009

    “把这个数顶上的√2用更大的数2来替代,则整个表达式坍缩为2,所以结果是不可能大于2的。”

    这样的描述是有问题的,顶上根本就没有一个“√2”可以被替换掉,因为顶上还是“√2的√2循环次”,也就是仍然是x,如果假设这个x=4,你替换成2,显然是把这个x变小了,所以变成2并不为怪。
    也就是说光这样并不能说明x不可能大于2。

    Reply
    • Sep 20 2009

      我那么说确实有些不严谨哎 不过是最简单的理解方式...

      Reply
  4. sss正和
    Sep 17 2009

    函数y=x^x^x^...当x在(0, e^1/e)时上界为e,但当x=e^(1/e)时y突然变成无穷大了。
    因为x=e^(1/e)时,x^x^x^...=(e^(1/e))^(e^(1/e))^(e^(1/e))^(e^(1/e))^...=e^e^(1+e^(1+e^(1+e^...........)))
    令e^(1+e^(1+e^(1+e^...........)))=y,自相似代换得e^(1+y)=y,无解,即x^x^x^...为无穷大。

    所以y=x^x^x^..=4>=e无解,强行做自相似代换y=x^y也只得到增根。

    Reply
    • sss正和
      Sep 18 2009

      上帖犯了一个低级错误,更正如下:
      x^x^x^...=c的自相似代换是x^c=c,即x=c^(1/c),在c=e时x取得极值e^(1/e)。
      于是x>e^(1/e)时x^x^x^...的值为无穷大。因为x=e^(1/e)+ε=e^e^(δ-1)时,
      x^x^x^...=(e^e^(δ-1))^(e^e^(δ-1))^(e^e^(δ-1))^...=e^e^(δ-1+e^(δ-1+e^(δ-1+e^...........)))
      令e^(δ-1+e^(δ-1+e^(δ-1+e^...........)))=z,自相似代换得e^(δ-1+z)=z,当δ>0时无解(或者说解为无穷大),即x>e^(1/e)时x^x^x^...为无穷大。

      函数y=x^x^x^...当x在(0, e^1/e]时上界为e,但当x>e^(1/e)时y突然变成无穷大了。
      所以x^x^x^..=4>e无解,强行做自相似代换也只得到增根。

      Reply
      • Sep 20 2009

        对 你这个解释严谨的正解..只不过这样表述比较繁琐...

  5. Sep 17 2009

    x怎么会大于1呢?
    f(x)>f(x)^x,在x>1时

    Reply
    • sss正和
      Sep 18 2009

      你应当把x^x^x^…看成x,x^x,x^x^x,...这样一个数例的极限。然后自己用excel试算一下,x1,c>1时,可以有x^c<=c这才是关键,保证数列通项可以有上限。

      Reply
      • sss正和
        Sep 18 2009

        x1应是x>1

  6. Sep 18 2009

    为什么会坍缩为2呢?

    Reply
    • Sep 20 2009

      因为√2的2次方还是2..不断的算下来最后还是2

      Reply
  7. 星光居士
    Sep 19 2009

    总觉得第二个方程的解有问题。

    Reply
  8. zyzyzhangyuan
    Sep 21 2009

    既然同一个式子可以有不同的值,岂不是说这个式子不收敛?如果不收敛,讨论这个问题就没有意义。

    一个例子是,y=1/x,当x=0的时候就没有意义,因为不收敛,当然它也可以有两个值……

    这种无穷项的叠代的方法都是逻辑不严谨的方法,都应该是有前提的,都是要求收敛甚至有的要求绝对收敛的。

    √2上有1个√2是1.6几,两个就是2,4个就是4啊。这样会不断的变大的,而且速度很快,肯定趋于无穷大的。

    Reply
    • Sep 21 2009

      你用计算器稍微验证一下就可以知道 这个确实是收敛的 极限确实是2

      Reply
  9. pia
    Sep 21 2009

    这个悖论产生的原因源自于做法......
    我们这里设a1=x
    a(n+1)=x^an

    而这种做法只用了递推公式
    并未用到初始条件

    例如上面的悖论,若初始条件2<a1<4就会得到极限为4,其余当大于4时,则会去想无穷大

    所以只是初始条件的问题.......

    Reply
    • Sep 21 2009

      按照那个式子 a1应该是√2的
      这个问题有意思的地方在于 如果是让我单独解第二个方程 我肯定解出来x=√2就觉得解对了完事儿了...

      Reply
      • pia
        Sep 22 2009

        所以很无奈的
        第一个式子即使算出来解也不能算对

        必须代回去重新证明......

        而且证明貌似也挺麻烦的......

  10. jcvb
    Nov 11 2009

    用程序算一下 答案是2
    第2个方程好像无解吧。。

    Reply
  11. kights
    Dec 1 2009

    可以把第一个式子(那么多个√2)设为n
    因为式子里有无数个√2
    那么在式子下面再加一个√2也不会影响原式结果
    所以有(√2)^n=n
    显然 n=2

    Reply
    • kights
      Dec 1 2009

      不知道这样是否合理?

      Reply
  12. 创业计划书
    Dec 2 2009

    换域名啦。来看看

    Reply
  13. choniong
    Apr 16 2010

    对于方程x^x^x^...=m似乎只有当m在[1/e,e]上时才存在唯一的x使方程成立,而当m在(0,1/e)上时用原帖的方法解得x后,x^x^x^...的值会根据x的个数的奇偶性在2个不同的极限间跳动。
    不知道我做的对不对?

    Reply
  14. napolen
    Aug 19 2010

    为何我就没有学过这种求解方法呢,看了半天还是没懂。。

    Reply
  15. Nov 21 2010

    "因为最低下的x的指数是他本身", 什么叫"他本身"? 会歧义好不好, "方程左项"不会说是吧?

    "把这个数顶上的√2用更大的数2来替代", 注意, 无穷, 无穷是什么懂不懂? "顶上"永远是方程左项, 先假设了方程左项不会超过2, 然后推出方程左项不会超过2, 真有追求...

    用初等代数玩级数, 这是玩给初中生看的吧, 现在高中都学级数了

    Reply
  16. 呼啸
    Sep 22 2013

    首先必须是收敛的吧...可以理解成极限 lim(x^x^x^x^x...x) 必须收敛.如果不收敛也就没有解罗...

    Reply
  17. Jun 4 2014

    额 这道题推导是错的 因为连幂运算一般不结合 不能简单的代换第二阶指数从而改变了结合性 而该题隐含假设了结合性 这就是悖论的起源 自己举几个例子即可

    Reply

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