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April 25, 2011

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赌场是凭借这个方法赚钱的吗?

作者: physixfan

众所周知,去赌场赌博,赢钱的一定是庄家。通过概率的不均等让你赔钱你肯定陪得心服口服,但是有人提出了这样一种赌场赚钱的方法,即使是输赢概率为1/2赌场也会赚钱,乍看起来似乎确实有道理:

就假设赌徒跟赌场玩的是赌大小的问题,输赢概率是严格的1/2。赌徒身上带着5元钱,每次下注1元。如果赌徒身上的钱在某个时刻输光了,那么赌徒就会离开赌场回家;如果赌徒连续赌了1000次都没有输光,赌徒在这个时刻就会停止赌博结算完毕回家去。如此一来,利用赌徒停止赌博两个边界条件的不对称性,随着赌徒增多,赌场就可以从中赚钱了~!

乍看似乎确实有道理,因为不仔细想的话会觉得赌徒输钱离开赌场的概率似乎确实比较大。但是如果写一个程序跑一跑看看赌场最终会赚多少钱,结果会出乎意料:赌场赚到的钱数将会在基本上以0为中心的一个范围内震荡,并不会随着赌徒人数增多而增多!

问题出在哪呢?其实这个结果也不算过于出乎意料。因为虽然赌徒输钱离开的概率是比较大的,但是他赔的钱就那么些;但是赌徒如果是赌了1000次才离开的,走的时候赚走的钱数可能相比而言是很多的。于是二者的作用是有可能恰好抵消的。如果你有耐心做详细的定量数学计算的话,其实是可以解析的给出这个问题的结果的,赌场赚到的钱数随赌徒人数怎么变化是可以精确算出来的。

但是还有一种很巧妙地思路可以一下子看出来,其实赌场从期望上来说就是不赚的!仔细想一下:一个赌徒离开赌场回家了然后又另外来了一个新赌徒来赌,和一直就是一个人在赌没有离开,有什么区别吗?没有区别!这就是问题的关键,只要看成是所有赌徒根本就没有离开赌场一直在赌,那么这问题就很清晰了:输赢概率1/2就意味着无论如何赌场也不会赚。之所以可以这么看,其原因就在于每一次赌博都是独立的,跟之前的输赢什么的没有丝毫关系。

但是问题又来了。不知道大家还记不记得随机游走的猫捉老鼠问题(参见这篇文章)。简单描述一下吧:一只猫一开始在数轴的x=1点上,x=0处有一只老鼠。猫是可以走动的,每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时,猫就抓到老鼠了,游戏结束。问题是:猫最终在某个时刻捉到老鼠的概率是多大呢?这篇文章给出了一个非常巧妙地方法,得到了一个出乎意料的结论:猫捉住老鼠的概率是100%!

可以看出猫捉老鼠问题和赌徒的问题是极为相似的,如果把赌徒赌1000次就离开改为无穷大次,那么这两个问题就完全等价了。如果把1000真的改成无穷大,那么赌场似乎就一定会赚钱了:只盯着一个赌徒看,他只要进去了,要出来就只有1种可能性,那就是输掉了5元钱,而前面算出的猫100%捉到老鼠,就意味着赌徒只要进去了就100%的会输了钱出来。可是1000次相对于5来说已经基本上算是无穷大了啊,为什么赌场不赚呢?!把程序里的1000改成10000甚至100000再运行,发现结果仍然是赌场不赚。难道真实的无穷大和近似的无穷大差别这么大?!

后来我想到其实是可以用程序模拟真实的无穷大的,其实很简单,只要把原先的循环条件从for(i=0;i<1000;i++)改成while(1)就可以了。于是,令人吃惊的一幕出现了:程序根本就跑不出结果来,就在那里一直运行着。这时我终于明白问题的关键所在了:zhiqiang同学曾在这篇文章底下评论道:“猫要捉到老鼠的期望时间是无穷大的。”!!!于是,最终赌场确实会赚没错,只是,进去一个赌徒就有可能需要无穷长(真实的无穷长!)的时间才能出来,概率100%是没有用的,关键是有限的时间里有些赌徒是根本出不来的。。。于是,在有限长的生命里看到赌场赚钱是不可能的了。。。至此矛盾消失。

最终的结论就是:只要输赢概率是严格的1/2,赌徒采取前面所述的策略赌钱,赌场是赚不到钱的。但是,有句话说得好,赌场就是赚两种人的钱的:一是不懂概率的,另一种是拿着一个概率公式以为正确想进去验证验证试试的。。。哈哈。。。

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13 Comments Post a comment
  1. Orzogc
    Apr 16 2013

    赌场是有抽水的,比如某人在某次赌博中赢了100元,赌场会抽走10元的。

    Reply
  2. 伟哥
    May 3 2015

    我是职业赌徒。。。这样的论文。。。写得很好。。。猫抓老鼠的道理。。

    Reply
  3. 伦哥
    May 3 2015

    老鼠也有分?利害还是不利害

    Reply

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