滑翔中的受力情况

首先让我们看一下在空中的蝙蝠侠的状态，下图显示了蝙蝠侠滑翔过程中的受力情况：

其中 v 是速度，其箭头表示了当前蝙蝠侠的飞行方向，与水平方向夹角为 θ。 L 和 D 分别为升力和阻力。根据相关的物理知识，可以知道升力和阻力的计算公式分别为：

\[L=\frac12C_L\rho Av^2\]

\[D=\frac12C_D\rho Av^2\]

其中 C _L 和 C _D 分别为升力系数和阻力系数，如果假设蝙蝠侠飞行时身体与前进方向的角度始终相同，如下图，那么在这个问题中这两个系数保持常数；ρ是空气密度， A 是飞翼的面积。

于是，蝙蝠侠身上的水平竖直方向的受力为：

\[F_x = L\sin\theta – D\cos\theta\]

\[F_y = mg – L\cos\theta – D\sin\theta\]

有了蝙蝠侠的受力情况，我们就可以计算其加速度。为了计算方便，这里用速度的分量式取代掉 θ： v _x = v sinθ； v _y = v cosθ，则加速度的表达式就可以写为：

\[a_x=\frac{\rho A}{2m}v(C_Lv_y-C_Dv_x)\]

\[a_y=g-\frac{\rho A}{2m}v(C_Lv_x+C_Dv_y)\]

蝙蝠侠的滑翔轨迹

经过一推不大不小的推算，得到加速度的表达式后，我们就可以迭代地计算蝙蝠侠的滑翔轨迹了。首先设定一个给定的非常小的时间步长 Δt，在某一个时刻的速度 v _x 、 v _y 已知之后，就可以计算出其加速度 a _x 、 a _y ，然后近似地可以把 a _x Δt、 a _y Δt 加到这一时刻的速度上，来作为下一时刻的速度。

另一方面，把速度乘以时间步长 Δt 加到这一时刻的位置上，来作为下一时刻蝙蝠侠的位置。不断地进行迭代，就可以近似地得到完整的滑翔轨迹。

说到这里，我们已经有了完整的计算方法。剩下的只要查找出参数并代入计算就可以了。下图是电影中的一副剧照，飞翼和蝙蝠侠（顶部）构成一个等腰三角形，这个等腰三角形的高大约是蝙蝠侠身高（1.88m）的一半，据此可以估计出滑翔时蝙蝠侠的飞翼的面积约为 A = 2.20 m ² 。

查找资料可知，室温下通常海拔高度的空气密度为 ρ = 1.20 kg• m ^-3 。电影中曾有交代，蝙蝠侠韦恩的质量是m = 95kg（壮汉哦），穿齐装备的蝙蝠侠真的很像一只蝙蝠，所以这里可以近似使用鸟的阻力系数值，即 C _D ≈ 0.4。至于升力系数，不妨近似使用平面机翼的数据，也就是 C _L ≈ 1.45，要说的是，实际中升力系数 C _L 应该比这个值要小，因为这个值是针对机翼的，已经被相当地优化过。时间步长设定为 Δt = 0.02s 比较合理。至于初速度，电影中蝙蝠侠跳下的瞬间并没有加速过程，定为 0。

将这一系列数据代入后计算结果就出来了。下图显示了在 40s 内蝙蝠侠的滑翔轨迹和速度变化曲线：

可以看出，即便是在用了较大的升力系数 C _L 的情况下，蝙蝠侠依然降落的非常快。如果蝙蝠侠从一个合理的高度，比如说 150m 的大楼顶端开始滑翔，他大约能滑行到 350m 远的地方，这个距离倒基本足够蝙蝠侠发挥了。然而问题在于他落地时的速度——滑翔后的蝙蝠侠速度先是很快地上升到 110km/h 这一最大值，然后稳定在 80km/h 左右。在这么高的速度上，任何碰撞都是很严重的甚至致命的，只要想象一下一个如此速度的车撞到你的感受就可以了。

也就是说，飞起来很拉风着陆很困难，如果没有任何保护措施地直接落地，那基本意味着要摔死。当然，滑翔翼要是能制作得再大一点，情况又会好转不少。总的来说，蝙蝠侠的飞翼算不上一个安全交通工具，即便电影里布鲁斯·韦恩异常强壮并且身着神装，稍有不慎依然容易摔得五颜六色。除非他使用一些快速减速的方法，例如降落伞，安全性才能有所保证。这样一来蝙蝠侠拉风程度要打打折扣了，不过谁知道呢？或许蝙蝠侠除了怕狗咬，其他压根不在乎。

看来韦恩家的企业缺个技术顾问啊。这篇文章的分析，只是使用了简单的物理模型，实际上飞行轨迹可以通过改变滑翔角度来控制，除此之外，滑翔翼也未必有足够的硬度在飞行时保持固定形状。

参考资料: A2_9 Trajectory of a falling Batman D.A. Marshall, T.O. Hands, I. Griths, G. Douglas

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