Turbulence 和 Chaos 的辨析
Turbulence 和 Chaos 这两个现象，在一定意义上说是相似的：都是会使系统产生类随机的运动，无法给出方程的完全解析解。但是这又是两个不同的词，在其各自的语境下使用着相当不同的研究方法去研究。于是很长时间我都有个疑问，turbulence和chaos到底是怎样的关系？今天跟一个老师讨论了一下，似乎他的解释相当靠谱。
Chaos的定义是，在相空间中两个最初靠的很近的轨线，其距离会随着时间推移指数增长。于是产生Chaos的系统首先得有一个相空间，这要求系统有有限多个自由度。然而最初产生Turbulence的方程Navier-Stokes方程本质上则是场方程，速度场\(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)\)是空间坐标的函数，空间的连续性就意味着这是个无穷多自由度的问题。无穷多自由度和有限个自由度的问题还是有着本质的区别的，这也就是为什么在研究Turbulence的时候不怎么讨论相空间啊吸引子啊Lyapunov指数啊什么的原因了。当然，如果引入其他假设来建立Model化简Navier-Stokes方程的话，它也可以用Chaos理论来研究的，比如最初让大家开始讨论Chaos的Lorenz方程组就是这么来的。更提纲挈领地看这个问题的话就是：常微分方程组可以用Chaos理论来研究，但是产生Turbulence的系统来自于偏微分方程，而偏微分方程的一般理论仍然是一个发展尚未成熟的数学领域，因此人们对Turbulence就没有很好的理论去使用了。
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受控核聚变的难点在哪里？
//本文是我在知乎上的回答《什么是可控核聚变？实现它的难点是什么？》。
宏观上来看，难点就是同时实现高温高密度和长约束时间（Lawson criterion）。因为自己是聚变方向的PhD，所以我想我可以谈一些比通常见到的科普更多的内容。下文主要针对托卡马克方案（即用磁场约束等离子体以实现聚变的方案），贴自我自己在知乎上对这个问题的回答。
第一方面的难点是物理理论上的。虽然等离子体的运动无非就是麦克斯韦方程组就可以完全描述的，连量子力学都用不到，但是因为包含的粒子数目多，就会遇到本质的困难，此所谓 “More is different”。正如在流体力学里，我们虽然知道基本方程就是Navier-Stokes方程，但是其产生的湍流现象却是物理上几百年来都攻不下来的大山。等离子体同样会产生等离子体湍流，因为有外磁场的存在甚至是比流体湍流更复杂一些。于是在物理上，我们就没有办法找到第一性原理出发找到一个简洁的模型去很好地预测等离子体行为。我们现在所能做的，很多时候就是像流体湍流的研究那样，构建一些更加偏唯像一点的模型，同时发展数值模拟的技术。
第二方面的难点是物理实验上的。即使没有第一性原理出发的理论，很多时候唯像模型也可以非常实用，比如说现在流体湍流的模型就可以在工程上很实用。但是等离子体实验的数据可并不像流体那么好获得。从理论上我们可以知道，托卡马克里的高温高密度等离子体会有非常多的不稳定性，如果伸进去一根探针进等离子体中心，那立刻就会激发起不稳定性于是整个等离子体就会分崩离析。基于这个原因，实验观测的手段就会很受限制。这也就是为什么我们不说“等离子体测量”一词，而是使用“等离子体诊断”，因为这的确就跟诊断病人的病情很像。…
