Skip to content

Posts tagged ‘巧妙’

14
Aug

盘点数学里十大不需要语言的证明

0. 勾股定理&余弦定理

这个大家小学就学过的古老定理,有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思(Elisha Scott Loomis)在 《毕达哥拉斯命题》( Pythagorean Proposition)提到这个定理的证明方式居然有367种之多,实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。


实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况,而余弦定理的证明,同样可以不用语言。

1. 关于反正切的恒等式

Read moreRead more

27
Apr

代数基本定理的一个最简单证明

//看懂本文需要且仅需要关于复数的基本概念。

代数基本定理,是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。从代数基本定理可以很显然的推论出我们可能在初中就已经熟悉的一个结论:一元n次方程必有n个根。虽然大家都已经对这个定理感到习以为常,但是其实它并不是显然的,因为如果只考虑实数,一元n次方程就不一定有根。当把研究对象拓展到复数时,一下子所有代数方程就有解了,这其实是一件很不显然的美妙结论。

关于代数基本定理,有很多很多种证明方法。貌似第一个证明是牛逼哄哄的高斯在博士论文中给出的...基本所有的证明方法都或多或少的用到了一些比较高等的数学,对于只有高中数学知识的人来说很难看懂。即使是《什么是数学》里给出的证明,也用到了一个并不是那么好理解的“卷绕数”的概念。但是,下面要给出的证明,只需要有关于复数的基本概念就可以理解,只要几句话就证明完毕了!此证明由北大数院的范后宏老师在“古今数学思想”课上提供。

代数基本定理证明:

w(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_0

于是我们想要证明的结论就是:一定能找到某个z,使得w(z)=0。

我们先把z写成z=re^{i\theta}的形式。

首先,我们考虑r=0的情况。这时w(0)将是复平面上的一个点,并且这个点就是a0,且a0不等于0。(如果a0等于0那z=0就是原方程的解了,定理直接得证。)

然后,我们再考虑0<r<∞的情况。对于一个固定的r,如果这时我们让θ从0到2π连续变化,那么对应着w(z)将会在复平面上画出一条封闭的曲线,如下图。这个曲线可能是很扭曲的形状,也不一定是绕了一圈的,可能绕了很多圈。比如w(z)=z^2,当z的辐角从0到2π连续变化时,w(z)将在复平面上绕着一个圆转两圈。在这里我们并不关心这条曲线的具体形状。

最后,我们再考虑r->∞的情况。此时当z的辐角从2π连续变化时,显然w(∞)的所有值都将是无穷大(因为此时只有z的最高阶项是起作用的,而它前面的系数是1),对应着就是w(∞)将在复平面上的无穷远处画出一条封闭曲线,见下图。 Read moreRead more

17
Jan

复数方法巧解平面几何题

快放假了才买到《复分析——可视化方法》这本书,相见恨晚啊,这本神书,如果我能早点读,这学期的复变函数估计就学的不会这么吃力了。。。在这本书开头的地方有一个用复数方法解决平面几何问题的例子,我一看便惊了:这正是我初中时候见到的一道印象极其深刻的平面几何题,曾为它绞尽脑汁也没有想出做法呢,然而这本书就用复数的方法巧妙而自然给解决了~ 贴出来共享一下。

题是这样的:证明,在任意四边形的四条边上各做一个正方形,那么连接相对的正方形中心的线段互相垂直并且等长。示意图如下。

geometry

Read moreRead more

7
Apr

椅子的稳定性问题

4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳?

这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过,当时觉得这问题太诡异了,怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手,看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的,一定可以找到一个位置使得椅子放稳!

题目的条件先解释一下,4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复,确实题目里有隐含条件需要明确地写出来:(1)椅子是正方形的...(2)四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长...(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳(即认为地面的摩擦系数无穷大)...(4)起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。

Read moreRead more

16
Mar

由哥白尼原理推导人类文明灭亡时间

/*这篇文章的主要内容由热学欧阳颀老师所讲 出自某期New York Times*/

下面要进行的一段推导,将十分诡异,可能有点莫名其妙的感觉,不过还是请完整看下去~
首先说一下什么是哥白尼原理。

Copernican principle:
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.

也就是说,一个好的理论必须满足,我们既不在宇宙中的一个特殊位置,也不处在一个特殊的时间。这个原理我想大家都可以承认吧。

为了热身,我们先推导一下柏林墙倒塌的时间。

柏林墙于1961年建立,而原文章作者Dr. Gott偶然地于1969年去了一趟柏林墙,此时柏林墙已经存在了8年。

上图中,第一行整体表示柏林墙从建立到最终倒塌的整个生命历程。其中中间50%被染成紫色,这个50%是作者自己设定的,他将给出一个时间区间,而柏林墙倒塌的时间在这个区间里面的概率为50%。

根据哥白尼原理,作者访问柏林墙的这个事件是完全随机的,它落在上图第一条线段上任何一个点的概率是均匀分布的,因此这个点落在紫色区域的概率是50%,也就是说,他去访问柏林墙的时间点处在柏林墙整个生命历程的25%~75%之间的概率是50%。

若他访问的时刻位于第二条直线上的Now位置,也就是说,处于柏林墙生命历程的25%处,那么由此推算,柏林墙的寿命将还有24年(8年占25%,则剩下75%代表24年)。

若他访问的时刻位于第三条直线上的Now位置,也就是说,处于柏林墙生命历程的75%处,那么可以算出,柏林墙的剩余寿命将只有8/3年(8年占了75%,剩下的25%只有8/3年)。

因此,他访问的时刻位于紫色区域时,推算出的柏林墙剩余寿命是在8/3年~24年之间的,因此他声称,柏林墙在未来8/3~24年内倒塌的概率是50%。

当然他也可以把一开始的概率设置成60%或者其他数字,这样将推算出来另一个时间区间,柏林墙生命历程终止于这个新时间区间的概率将为60%。

最终,柏林墙于1989年倒塌。其实,作者写这篇文章的时候已经是90年代了...

下面,他又用同样的方法,给出了人类文明灭亡时间的推算。

Read moreRead more

“少数决”游戏

在SF神牛的鼎力推荐下看完了日剧《欺诈游戏》(Liar Game),大赞其游戏设计之强大,尤其是其中的“少数决”游戏。按照SF神牛的说法,看了这个日剧以后会觉得其他的博弈游戏都黯然失色...下面内容转载自http://www.matrix67.com/blog/archives/2591

欺诈游戏的第二场共有22人参加。这22个人集中在一个阴森的大厅里,参加一个叫做“少数决”的游戏。每一个游戏,从 Chinese PartyPoker 到象棋,都有它的规则。为了让游戏有意义规则必须被遵守,以便产生真正的胜者。当然,没有欺诈!游戏规则很有意思:主办方随机抽取一个人到台上来,向众人问一个二选一的问题,比如“你信春哥吗”。每个人手里都会得到两张选票,两张选票上都印有自己的名字,但其中一张纸上印有“YES”,另一张纸上印有“NO”。游戏者们有6个小时的时间进行交流和考虑,并要在时间结束前将自己的选择投入投票箱。时间结束后,主办方进行唱票,并规定票数较少的那一方取胜,多数派将全部被淘汰。获胜的选手将进行新一轮的游戏,主办方从剩下的人中重新选一位进行提问,并要求大家在6个小时内投票,唱票后仍然宣布少数派胜出。若某次投票后双方人数相等,则该轮游戏无效,继续下一轮。游戏一直进行下去,直到最后只剩下一人或两人为止(只剩两人时显然已无法分辨胜负)。所有被淘汰的人都必须缴纳罚金,这些罚金将作为奖金分给获胜者。

这个游戏有很多科学的地方,其中最有趣的地方就是,简单的结盟策略将变得彻底无效。如果游戏是多数人获胜,那你只要能成功说服其中11个人和你一起组队(并承诺最后将平分奖金),你们12个人便可以保证获胜。但在这里,票数少的那一方才算获胜,这个办法显然就不行了。因此,欺诈和诡辩将成为这个游戏中的最终手段。如果你是这22个参赛者中的其中一个,你会怎么做呢?

Read moreRead more