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Posts tagged ‘无穷’

15
Sep

直上九宵的指数方程

有一道很简单的小问题:求解方程

\Large x^{x^{x^{x^{...}}}}=2

这样的方程解起来是很简单的,因为最低下的x的指数是他本身,即它的指数是2,因此该方程等价于x^2=2,立刻解得x=√2。

但是,如果题目地形式稍微一变,变成这个样子:

\Large x^{x^{x^{x^{...}}}}=4

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了,既然如此,那么表达式

\Large \sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{...}}}}

到底等于几呢?2还是4?

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31
Dec

一个关于级数的疑问

大家应该很熟悉ln2的级数展开吧:
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+……①
把①两边每一项乘以1/2得到:
1/2*ln2= 1/2 -1/4 +1/6 -1/8+……②
上面②的数字间距比较大仅仅是为了与①的相关数字对齐。把①②相加,按照纵列结合各项,于是我们得到
3/2*ln2=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+……③
我们惊奇地发现,③的右边仅仅通过顺序的变换就可以得到①的右边,但左边却确确实实的不相等!难道无穷级数不支持交换顺序的运算?
有的人马上举出1-1+1-1+1-1+……这个著名发散级数跟我说无穷级数肯定不能交换顺序,可是一定要明确①和③两边是收敛的阿!收敛就决定了这不是个太小儿科的问题。
到底是从①变到③的某个过程不被允许,还是连收敛级数也真的不能交换顺序?我期待有谁能给我个令我信服的答案。

update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了,感谢网友们的帮助!

22
Aug

一个有趣的级数

估计有不少人知道这样一个公式,1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=π/4

我很小的时候就见过这个,貌似叫莱布尼茨公式,觉得相当有意思,一些自然数的加减乘除居然出现了π!之后我对这个公式思考了好长时间,总是想不出来怎么来证明。我一直把这个问题记在心里,期盼着那一天能找到他的证法。

我曾经专门找过微积分的书和有关级数的数,遗憾的是,这么经典的一个无穷级数求和居然都没有写到。我近日在数学吧问了一下,好象没有初等数学的证明,有人贴出来了一个不过我没看明白。
有意思的是,今天在读《费曼物理学讲义》有关谐波的章节时,居然看到了这个等式的证法!呵呵,我都惊喜得不行了,居然在经典物理书里面看到了有意思的数学证明!我想把这个证法贴出来,供大家欣赏,相当精彩啊,不过没学过微积分的就不用看了。 Read moreRead more

11
Jun

物理学中的近似——关于无穷小量的计算(基础但很重要)

突然发现好长时间没写物理方面的东西了,今天就写写基础的东西吧。关于无穷小量的计算,不知高考考不考,反正竞赛中时极为重要的。这些东西很简单,真得简单得不得了,可是我却是在不断跌打碰壁中自己摸索出来的,走了大段弯路,现在总结出来供大家分享吧。

首先要明确的是,两个无穷小量相除,不等同于0除以0而没有意义,相反,在大量计算中会出现类似的情况,他的结果通常是一个不是无穷大的数。例如,在匀速直线运动中,取一段极小的时间t,Δt→0。在这段时间内位移是Δx,而Δx/Δt=v就是其速度,有着实实在在的意义,有着具体的数值。

有一个重要规则叫做略去高阶无穷小。如果一个项是两个或两个以上的无穷小的乘积,那么这个项相对于其中一个无穷小就是高阶的。例如,Δx2就是比Δx更高阶的无穷小。在一个没有分母的和的形式的多项式中,我们可以略去其中最高阶的无穷小,而不能把全部无穷小给略去,否则就会出现错误。例如,(x+2Δx)2=x2+4xΔx+4(Δx)2= x2+4xΔx。 Read moreRead more