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Posts tagged ‘相对论’

30
Mar

什么是直线?

什么是直线?或者更加准确的问法是如何定义直线?不知道你有没有思考过这个问题。尽管我们实际生活中都有对直线概念的直观理解,但是考虑到后来非欧几何的问世,我们理应对直线有一个更深刻的认识。

欧几里得的几何原本上是这么定义直线的:“直线是它上面的点一样地平放着的线”,其中线的定义是“线只有长度而没有宽度”。显然在逻辑上这样的定义是极其不严格的,因为什么叫做“一样的平放着”只是一个日常生活中的直观概念。这也就是说欧几里得的几何原本相当于并没有对直线给出定义,尽管直线是几何学最基本的基本概念之一。

可能很多人会认为直线被定义成“两点间最短的线”(在这里就不去区分线段和直线了),然后就觉得在逻辑上就已经定义清楚了。但是这里还有一个问题,那就是什么叫做短?要有长短的概念就要先有距离的概念,而仅仅在几何学内考虑这个问题的话,要丈量距离就必须先有尺,而尺的形状又是直的,因此距离的概念其实是建立在直线的概念之上的。所以如果只考虑几何学那么用距离定义直线就成了循环定义了。

所以在数学上,我们就不能单从几何的角度去定义距离了。为了定义距离,我们需要在空间的每一个无穷小的区域上建立一个笛卡尔坐标系,在每一个小的笛卡尔坐标系内部可以通过普通的解析几何的方法定义出距离,然后在整个路径上对每一个小段上的距离进行叠加,从而定义出两点间连线的距离。之所以能在无穷小区域上建立笛卡尔坐标系,是因为一条曲线在无穷小区域上,我们可以把它近似为一小段直线(这个直线就是我们通常直观认识的直线),这个思想其实在最基础的微积分里面就已经有了。(如果一个空间奇异到在无穷小区域上无法建立笛卡尔坐标系,那么一般我们就不去研究它了。)至于为什么不能直接在大区域上直接建立笛卡尔坐标系来定义距离,原因很简单,坐标轴要画成直线啊,在没有直线概念的时候又哪里来的坐标轴呢...一个能够帮助理解的简单例子是在球面上定义最短线,如果直接建立笛卡尔坐标,其中的坐标轴就用我们直观感受的那种直线的话,那么最短线是必须脱离球面而经过球面之外的空间的。但是在球的表面的每一个无穷小区域上建立微小笛卡尔坐标系,就可以很好的沿着球表面定义出一条最短线。

至此,我们基本上可以把直线就定义成两点间距离最短的线了。但是,一定要知道一点,如此定义并没有定义出唯一一种直线。显然在一个球面上定义出的最短线,在我们看来其实是圆弧;在马鞍面上画出的最短线,在我们看来也是弯弯曲曲的线...他们都属于非欧几何。庞加莱圆盘模型(参见这篇文章)就是非欧几何的一种,按照那里定义的距离,圆盘模型内的直线在我们看来就成了圆弧了。

那么怎么定义才能保证刚才定义出来的直线就是我们通常直观上的直线呢?其实很简单,只要再加上一个公理,即传说中的欧几里得第五公设就可以实现:同一平面内一条线段和另外两条线段相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两线段经充分延长后在这一侧相交。非欧几何正是做出了与第五公设相反的假设而得名的,给出不同的公理,就会得出各种各样的非欧几何。

至此,我们终于可以引入Hilbert大神对直线的理解了: Read moreRead more

28
Sep

潜水艇悖论

在爱因斯坦的狭义相对论提出之后,人们就从它出发提出了各式各样奇妙的悖论,比如著名的孪生子悖论、堵火车悖论等,仔细分析这些悖论到底是怎么被消除的,将十分有利于加强我们对相对论的理解。目前我见过的最难想的悖论,莫过于这个“潜水艇悖论”了。

首先假设一艘完全浸没在海中的潜水艇,在相对海水静止时能不升不降地正好保持平衡,然后再假设它在与海面平行的方向上以接近光速行进。基于物体长度会在运动方向上收缩的相对论效应,在海面上固定船只上相对海水静止的观察者看来,潜水艇本身会收缩,密度会变大,并最终下沉。但潜水艇上的船员们看到的却是飞速向后的海水在收缩,密度在变大,他们会得出结论认为,由于海水密度变大后产生更大浮力,潜艇将漂浮而上。按照相对论,两种看法似乎都没有错,潜艇到底是沉或浮的悖论由此而生。

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5
Jul

狭义相对论重要公式备忘

写这篇文章的主要目的是为了熟悉一下mime\TeX的语法...

狭义相对论重要公式

这篇文章中默认不加撇的物理量为S参考系中的量,加撇的物理量为S'参考系中的物理量,其中S'系相对于S系以速度u向x轴方向做匀速运动。注意t表示时刻,而Δt才是表示时间间隔的。

1.时间膨胀效应

假设钟相对于S'系静止,即两次读取时刻在S'系中发生于同一地点,则有\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}

2.动尺缩短效应

假设被测量的物体相对于S'系静止,则l=l'\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}

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29
Dec

有趣的堵火车悖论

当年爱因斯坦(Albert Einstein)提出令人费解的狭义相对论之后,有很多人提出了各种各样的悖论,例如孪生子悖论,在例如今天我要说的堵火车悖论(这个名字是我自己叫的,不知道其他人叫它什么)。这个问题是这个样子的:

未来的某一天,科技高度发达,火车行进速度飞快,足以产生明显的相对论效应,人们也都精通相对论知识。一天,两个盗贼得知有一列载满富翁的火车将通过他们的地盘:一个中间有隧道的山坡,火车将从隧道穿过。已知隧道的长度恰好和火车静止时的长度相等。两个盗贼这样盘算:根据动尺缩短效应,我以我自己为参考系,火车将相对于我高度运动,长度将变短,因此我们可以两个人分别站在隧道的一段,等到火车车身完全在隧道内的时候,两人同时用一块石头堵住隧道两端,把火车封在里面,这样就可以下去抢财物了。富翁们不知从那里得知了倒贼要行动的消息,哈哈大笑,想到:他们不可能成功,根据动尺缩短效应,我以我在的火车为参考系,是山和隧道在高速运动,缩短的应该是隧道,因此我们的火车不可能在某个时刻完全处于隧道内而被封在里面。看来,他们两方说的都有道理,那么问题是:火车究竟能不能被封在隧道内呢? Read moreRead more

11
Aug

武汉武大物理培训

武汉大学的主讲老师是中国物理竞赛国家队总教练、中国科技大学教授程稼夫,相当有名,相当厉害的老师。他写的《力学篇》《电磁学篇》,是我见过的最棒的竞赛书。我就是奔着它的名气去的。
课的难度不用多说,我就说说程稼夫讲课最常说的一句话大家就明白了:“如果进了国家队,这个知识就非常有用了,大家一定好好听!”我晕!它以这么说,我接着睡觉.
本来以为狭义相对论很简单,至少我看到的几本书写的东西都很容易理解,特别是《费曼物理学讲义》上的关于相对论的章节,写得相当明白,我觉得学得不错了。而且听高二的同学说,高中竞赛对相对论要求不高,题都相对简单。可是,听了程稼夫的一天的相对论,我才知道,原来相对论可以这么难。四度矢量,纵向横向多普勒效应(考虑相对论效应),光行差,洛伦兹变换的推导,甚至是最基础的同时的相对性……我基本晕了一整天。。。 Read moreRead more

20
May

大自然的神秘常数——精细结构常数

大约一年前,有一条科学新闻曾经引起媒体的小小轰动,那就是澳大利亚新南威尔斯大学的科学家通过对来自遥远的类星体的光谱数据的分析,发现宇宙早期的精细结构常数可能比现在的小大约一百万分之七左右。这一发现,如果被进一步证实,将对理论物理的前沿研究产生重大的影响。那么到底什么是精细结构常数?为什么它的改变会如此的轰动效应?

  简单的说,精细结构常数是一个纯数,它没有量纲,通常用希腊字母 α 表示。它的数值约等于1/137,更确切的数值是1/ α =137.03599976,或=0.007297352533(不确定量在最后两位上)。事实上,它可以表示成其它几个更为大家熟知的常数的组合:
α=(e^2)/(2ε0*h*c)

  其中 e 是电子的电荷, ε0 是真空介电常数, h 是普朗克常数, c 是真空中的光速。那么这个常数究竟从何而来,为什么被称为精细结构常数?在物理上又有什么意义呢?这得从光谱慢慢说起。
第一个对氢原子光谱作出成功解释的,是尼尔斯·玻尔于1913年发表的氢原子模型。在这个模型中,玻尔大胆地假设,电子只在一些具有特定能量的轨道上绕核作圆周运动,这些特定的能量称为电子的能级。当电子从一个能级跳到另一个能级时,会吸收或发射与能级差相对应的光量子。玻尔从这两个假设出发,成功地解释了氢原子光谱线的分布规律。 Read moreRead more