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Posts tagged ‘逻辑学’

17
Jun

造物神的故事

/*本文摘抄自《哥德尔、埃舍尔、巴赫——集异璧之大成》。不知道这样是否牵扯版权问题呃。。。这段文字写的实在是太过牛逼,以至于多年以后我重新来看的时候还是膜拜不已。。。因为这段故事正好跟《我的宇宙观》很有联系,所以就摘抄到这里。为了故事的独立性对原文稍作了修改 注意阿基里斯和乌龟仅仅是两个主人公而已 没有历史含义*/

阿基里斯:我都忘了,龟兄——我弄到了这盏魔灯!但是——它有什么魔力?

乌龟:哦,很普通,一种怪物。

阿基里斯:什么?你是想说你擦它时,就会出来一个怪物听你使唤?

乌龟:没错,你以为呢?天上掉馅饼吗?

阿基里斯:嗯,这是挺神的!我可以随心所欲,嗯?我总是希望我碰见这种事...

(阿基里斯轻轻地摩擦着刻在那盏黄铜灯表面上的大字“灯”……突然,冒出了一大股烟,从烟的形状中,他们都辨认出了那个一个精怪,鬼一般的立在他们上面。)

怪物:你们好,我的朋友们——非常感谢把我的灯从邪恶的双蜥蜴手中救出来。

(怪物一边说着,一边把那盏灯拿起来,塞进隐藏在他那飘摆于灯外的长袍褶皱中的口袋里。)

怪物:作为对你这一英雄行为的感谢,我愿意代表灯向你提供实现你任意三个愿望的机会。

阿基里斯:真是活见鬼!你不觉得是这样吗,龟兄?

乌龟:我的确也这么想。来吧,阿基,说第一个愿望。

阿基里斯:唔!可我应该提什么愿望呢?唔,我知道了!这是我在第一次读《天方夜谭》时想过的——我愿我有一百个愿望,而不是三个!真聪明,是吧,龟兄??我敢说你从来没有想到过这种把戏,我总是想为什么故事中的那些大脑迟钝的人从没有自己这么试试!

乌龟:也许你现在会找到答案的。

怪物:很抱歉,阿基里斯,我不能满足元愿望。

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4
Jun

相关性 ≠ 因果性

专家说,常食海参使人变得更聪明!

科学研究表明,20~50岁男人射精越频繁,以后患前列腺癌风险就越低!

你深信以上这种说法吗?是不是为了变聪明我们就要天天吃海参?是不是为了降低患前列腺癌的风险我们就要天天打飞机?

相信死理性派的读者,不会轻易就得出结论。但轻易下结论是很多人经常犯的毛病,为了分析类似这种结论的可信程度,我们先来看看这种结论都是如何得出的。

为了研究海参和聪明之间的关系,研究人员通常是这样做的:

首先在一定的人群中统计一下他们是否平时常吃海参,挑选出常吃海参的一组和不常吃海参的一组。然后进行智商测试,对总体结果进行统计,看看哪一组智商平均值更高,或者直接统计吃海参频率和智商之间的相关系数。如果常吃海参的一组平均智商得分更高,那么研究人员就会得出结论:常吃海参和智商高之间是呈正相关的关系的。

但根据这个研究,有的所谓“专家”则声称:海参吃得越多智商就越高哦!为了提高智商赶紧吃海参吧!

相关性 ≠ 因果性

即便是假设常吃海参的组平均智商真的更高,并且调查对象人数真的多到了具有统计意义,“专家”的声明仍然有一个致命的逻辑缺陷:相关性并不代表因果性!这是一个经常被人混淆,也经常被一些团体故意混淆已达到他们自己的目的。两个变量A和B具有相关性,其原因是有很多种的,并非只有A→B或者B→A这样的因果关系。一个很常见的导致相关性的可能性是A和B都是同样的原因造成的:C→A并且C→B,那么A和B也会表现出明显的相关性,但并不能说A→B或者B→A。

比如有统计表明,游泳死亡人数越高,冰糕卖得越多,也就是游泳死亡人数和冰糕售出量之间呈正相关性,我们可以由此得出结论说吃冰糕就会增加游泳死亡风险吗?显然不可以!这两个事件显然都仅仅是夏天到了气温升高了所导致的,吃不吃冰糕跟游泳死亡风险根本没有任何因果关系。

从这个例子可以明显看出,只依据统计数据是不足以得出因果性的,想要得出因果性,必须从理论上证明两个变量之间确实有因果性,并且要排除掉第三个隐含变量同时导致这两个变量的可能性。

回到海参的例子上来。海参和聪明之间的正相关性,有可能是因为经常吃到海参的家庭一般比较富裕,而富裕的家庭通常可以给孩子提供更好的教育资源,以使得孩子更聪明;也可能是有一个或者多个基因,同时起到了使人喜欢吃海参和提升智商两种作用。如果不排除这些其他可能性,说吃海参可以导致更聪明的说法就是不可信的,我就绝不会为了提升智商去吃海参。

30
Mar

什么是直线?

什么是直线?或者更加准确的问法是如何定义直线?不知道你有没有思考过这个问题。尽管我们实际生活中都有对直线概念的直观理解,但是考虑到后来非欧几何的问世,我们理应对直线有一个更深刻的认识。

欧几里得的几何原本上是这么定义直线的:“直线是它上面的点一样地平放着的线”,其中线的定义是“线只有长度而没有宽度”。显然在逻辑上这样的定义是极其不严格的,因为什么叫做“一样的平放着”只是一个日常生活中的直观概念。这也就是说欧几里得的几何原本相当于并没有对直线给出定义,尽管直线是几何学最基本的基本概念之一。

可能很多人会认为直线被定义成“两点间最短的线”(在这里就不去区分线段和直线了),然后就觉得在逻辑上就已经定义清楚了。但是这里还有一个问题,那就是什么叫做短?要有长短的概念就要先有距离的概念,而仅仅在几何学内考虑这个问题的话,要丈量距离就必须先有尺,而尺的形状又是直的,因此距离的概念其实是建立在直线的概念之上的。所以如果只考虑几何学那么用距离定义直线就成了循环定义了。

所以在数学上,我们就不能单从几何的角度去定义距离了。为了定义距离,我们需要在空间的每一个无穷小的区域上建立一个笛卡尔坐标系,在每一个小的笛卡尔坐标系内部可以通过普通的解析几何的方法定义出距离,然后在整个路径上对每一个小段上的距离进行叠加,从而定义出两点间连线的距离。之所以能在无穷小区域上建立笛卡尔坐标系,是因为一条曲线在无穷小区域上,我们可以把它近似为一小段直线(这个直线就是我们通常直观认识的直线),这个思想其实在最基础的微积分里面就已经有了。(如果一个空间奇异到在无穷小区域上无法建立笛卡尔坐标系,那么一般我们就不去研究它了。)至于为什么不能直接在大区域上直接建立笛卡尔坐标系来定义距离,原因很简单,坐标轴要画成直线啊,在没有直线概念的时候又哪里来的坐标轴呢...一个能够帮助理解的简单例子是在球面上定义最短线,如果直接建立笛卡尔坐标,其中的坐标轴就用我们直观感受的那种直线的话,那么最短线是必须脱离球面而经过球面之外的空间的。但是在球的表面的每一个无穷小区域上建立微小笛卡尔坐标系,就可以很好的沿着球表面定义出一条最短线。

至此,我们基本上可以把直线就定义成两点间距离最短的线了。但是,一定要知道一点,如此定义并没有定义出唯一一种直线。显然在一个球面上定义出的最短线,在我们看来其实是圆弧;在马鞍面上画出的最短线,在我们看来也是弯弯曲曲的线...他们都属于非欧几何。庞加莱圆盘模型(参见这篇文章)就是非欧几何的一种,按照那里定义的距离,圆盘模型内的直线在我们看来就成了圆弧了。

那么怎么定义才能保证刚才定义出来的直线就是我们通常直观上的直线呢?其实很简单,只要再加上一个公理,即传说中的欧几里得第五公设就可以实现:同一平面内一条线段和另外两条线段相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两线段经充分延长后在这一侧相交。非欧几何正是做出了与第五公设相反的假设而得名的,给出不同的公理,就会得出各种各样的非欧几何。

至此,我们终于可以引入Hilbert大神对直线的理解了: Read moreRead more

7
Dec

如何证明自己不是精神病?

一天深夜,我和好友lbywsm畅谈马克思的伟大理想共产主义实现的可能性..

我:“共产主义要想实现,其最重要的一个基本假设就是人必须不为自己的利益最大化着想,而是完全无欲无求,这在现实中是很难实现的..不仅仅是个时间问题,几千年的时间也无法改变人类的本性..”

lbywsm:“你错了..几千年以后的科技发展,很可能是超乎我们现在的想象的..如果将来人类全部永生了,而永生又等价于不繁殖,这样人类的本性是会发生改变的..”

我:“但是这个世界上的资源总是有限的,石油煤炭就不说了,地球的表面积就那么大,土地是有限的,总有一天永生的人类会面临对资源的占有欲..”

lbywsm:“那如果这样呢:将来人类的意识全部被导入到The Matrix中,而不再以实体形式存在,这样就可以完成永生,并且在里面资源无穷无尽,你所全部需要做的事情就是思考..”

我:“嗯..太有道理了..这么看来,实现共产主义的唯一方式就是The Matrix了~!只可惜在马克思的年代,他是写不出The Matrix的…”

lbywsm:“对..这大概确实是实现共产主义的唯一途径了…我们的谈话是不是有点不和谐..?”

突然“碰”的一声,宿舍门被一脚踢开,几个黑西服黑墨镜的彪形大汉冲了进来,把我们俩按到了地上,紧随其后的是几位白大褂,其中一个开口对我们说道:“恭喜你们两位重症精神病患者,得到了全知全能的Big Brother的特殊照顾,你们将被送到精神病院终生作免费治疗…”

“我不是精神病!”我大喊道, Read moreRead more

12
Nov

上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?

小时候看《时间简史》,对里面一副插图里的话印象很深:“上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?”,从此我便把它作为上帝不是万能的这一命题的证明。因为,如果你回答“能”的话,那么上帝就连某块石头都搬不动;而如果你回答“不能”的话,那么上帝就连一块满足某条性质的石头都造不出来,他也不是万能的。

但是,其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。

这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上,对于定义有一条不起眼的要求,那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数,从理论上来说我得证明这种数是存在的,我们可以举个例子来证明其存在性,比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符,我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊...我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然(举个例子就可以了),因此在课本里从来不出现,但是这绝不意味着存在性证明没有用,尤其在抠逻辑漏洞的时候。

比如说吧,我要定义一种数叫做“蛋疼数”,他被定义为“大于2的偶质数”,显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论,看上去完美无缺而且非常漂亮,可是回过头来一看,哎呀,蛋疼数居然不存在,那整个理论体系的根基就倒塌了。

再比如说,我要定义一种数叫做“牛逼数”,他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”,很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数...这样,牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例,这可实在不是一件很显然的事情...

好了,回到上帝是不是万能的问题上来。 Read moreRead more

4
Jun

意料之外的绞刑

今天是2012年12月20日。

正当我在玩三国杀OL玩的正High的时候,突然宿舍门被一脚踢开,几个黑西服黑墨镜的彪形大汉冲了进来,一顿拳打脚踢之后把我按到了地上,其中一个开口对我说道:“Eagle_Fantasy,你于2010年6月4日在Innernet上发表了不和谐文章,犯了十恶不赦的思想罪。你有权保持不沉默,但我们很快会让你沉默的。”

于是,我被天朝的思想警察带到了黑漆漆阴森森的监狱中,我一看,旁边还坐着我同学lbywsm。

党说:“你们两个人都犯了在天朝最罪大恶极的思想罪,证据确凿,我宣布党将于今年结束之前在你们意料之外的一天对你们处以绞刑。”说罢便转身离开。

我们俩瞬间便瘫坐到地上。

突然,我嘴角微微上扬。

lbywsm问道:“为啥冷笑?”

“我忽然发现,党这样宣判我们实际上是对我们开恩了,我们最终会被释放。”

“怎么讲?从今天到2012年12月31号之中的任何一天党都有可能处死我们,而我们是不知道究竟会是哪一天的,所以哪一天都会出乎我们意料之外啊..”

“你仔细想一下,假设我们顺利的活到了12月31日,党说要在今年结束之前处死我们,是不是我们就可以确定党要在12月31日那天处死我们了?这样的话不就在我们意料之中了吗?这就跟党说过的话矛盾了。于是,我们可以确信,党不会在31号处死我们。然后再往前推,如果我们活到了30号,而我们又可以确信党是不会在31号处死我们的,于是我们就知道党将在30号绞死我们,可是我们也预料到了这一点,于是党也不能在30号处死我们……”

“于是,如果继续往前推的话,也就是说,党不能在任何一天绞死我们,否则就自相矛盾了?”

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