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Posts tagged ‘错误’

17
Aug

献给业余数学之王:澄清对费马原理的误解

2011年8月17日,是费马(Pierre de Fermat)诞辰410周年。今天, 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。

除了费马大定理,相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理,从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律,几乎包含了几何光学的全部内容。然而,对于这个原理,很多人都存在着或多或少的误解,这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里,本文就来一一澄清。

首先说明一点,在费马原理的表述中,光程和光传播所用的时间是等效的,因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。

百度百科的不靠谱说法

不妨先看看 百度百科 给出的费马原理的定义:光波在两点之间传递时,自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述,只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。


从A发出的光线,经过平面镜的反射到达B点,这条光线必然是可以真实存在的。可是这是光程最短的路径吗?显然不是,从A发出直接到达B的光线光程更短。所以使用“最小”一词是绝对错误的,费马原理其实是个局域性的原理,所有诸如最小的词均应当替换为极小。只要光程取极小值,无论是否是最小,它都是真实存在的光线。

用“极小值”表述正确吗

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12
Nov

上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?

小时候看《时间简史》,对里面一副插图里的话印象很深:“上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?”,从此我便把它作为上帝不是万能的这一命题的证明。因为,如果你回答“能”的话,那么上帝就连某块石头都搬不动;而如果你回答“不能”的话,那么上帝就连一块满足某条性质的石头都造不出来,他也不是万能的。

但是,其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。

这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上,对于定义有一条不起眼的要求,那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数,从理论上来说我得证明这种数是存在的,我们可以举个例子来证明其存在性,比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符,我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊...我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然(举个例子就可以了),因此在课本里从来不出现,但是这绝不意味着存在性证明没有用,尤其在抠逻辑漏洞的时候。

比如说吧,我要定义一种数叫做“蛋疼数”,他被定义为“大于2的偶质数”,显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论,看上去完美无缺而且非常漂亮,可是回过头来一看,哎呀,蛋疼数居然不存在,那整个理论体系的根基就倒塌了。

再比如说,我要定义一种数叫做“牛逼数”,他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”,很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数...这样,牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例,这可实在不是一件很显然的事情...

好了,回到上帝是不是万能的问题上来。 Read moreRead more

11
Aug

高考物理教育的失败——一个经典模型之错误


想必学过机械能守恒的高中生都作过这么一类题吧,如图,一个铁链原来静止的放在水平面上,漏出一点点可忽略不计,然后他会在重力作用下下滑,告诉你铁链的质量、长度一类东西,问你完全离开平面式铁链的速度(图中第三个状态)。

我当时也作过这一类题,《中学第二教材》把它当作一个重要专题来讲,训练机械能守恒。甚至在程稼夫《力学篇》上,都有一道类似的题,只不过麻烦一点就是了。

浙大讲动量能量的老师出出来这道题之后,我都很惊,这么简单的题,做个包子?一个机械能守恒不就完事了么。令我没有想到的是,经老师一点破,发现这道题是倒错题,所有这种类型的题全错了! Read moreRead more

14
Jan

A Funny Mistake

At noon that day, we found a strange phenomenon. She Fei’s bottle, which was half filled with boiled water, had many bubbles going up from the bottom to the top, with the sound of ‘zizizizi’. It’s so interesting that Zhang Cheng , Wang Wenkai and I came to explain it. I observed the bottom of the bottle, and found that there was a scratch on the bottom. I remembered a TV show, which said a scratch may cause water boil if the water has a high enough temperature and a too smooth pot cannot boil the water. So I guessed that phenomenon might be cause by the scratch, the scratch made the water boil. Wang said the scratch might cause the pressure decrease, so the lower decrease cause the water reach its boil temperature. Then he thought of a method to prove his assume. He asked Zhang to open the cap of the bottle to see whether he was correct. Zhang opened it carefully, and he was surprised that his left hand beneath the bottle felt very hot at the moment the cap was opened and the bubble stopped to travel! He was puzzled. I observed the bottle again, and I found that there was some water on my hand beneath the bottle! Ahhhh, I made the final correct conclusion: the bottle leaked!!!

According to this funny mistake, I know that we shouldn’t make a conclusion too quickly without thinking deeply, and we shouldn’t believe an assumption without experiment. We should observe a phenomenon carefully, think about it deeply, and have a small experiment to prove the assumption. Maybe a reason of a strange thing is very easy, and we should remember it forever!