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February 21, 2009

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庞加莱的几何学

作者: physixfan

最近在看庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)的《科学与假设》,这是一本闪耀着思想光辉的圣书。介绍科学知识的书很多很多,但是像《科学与假设》这种写科学哲学的书恐怕很难找得到。虽然这本书的语言非常艰涩难懂,但这本书我至少读过3遍,每一遍都能读出一些新的感悟。

在这本书里,庞加莱对几何学提出了几条思想很深刻的见解:

1.几何学公理既非综合判断,也非实验经验,他们是约定。约定是心智的产物,约定的选择是自由的,但又不是随意的。

2.假使自然界没有固体,便不会有几何学。欧几里德几何学的性质与天然固体非常符合。

3.欧几里德几何学不比非欧几何学更真,他只是更为方便而已。经验在任何时候都不会与欧几里德共设相矛盾,同样任何经验永远也不会和罗巴切夫斯基共设相矛盾。

4.可以建立一本词典,把非欧几何的术语和欧几里德几何的术语之间建立一一对应的关系,这样非欧几何将永远不会和欧几里德几何相矛盾。

5.实验告诉我们的是物体之间的相互关系;至于物体与空间的关系,或者空间个部分的互相关系,没有一个实验影响或者能够影响。实验与空间无关,而与物体有关。

为了对非欧几何加以诠释,庞加莱在这本书里提到了著名的庞加莱圆盘模型,这个模型是非常有意思的:

庞加莱圆盘模型
假定有一个用大球包围起来的世界,他服从下述定律:(1)温度不是均匀的,在中心温度最高,随着距中心距离的增大,温度成比例的减小,当接近包围这个世界的球面时,温度降至绝对零度。更精确的表述为:设R为包围这个世界的球的半径,r是所考虑的点到中心的距离,则绝对温度将与R^2-r^2成正比。(2)这个世界上一切物体具有同一膨胀系数,从而任何量尺的长度都与他的绝对温度成比例。(3)假定一物体从一点移动到另一点时,他能立即与新环境处于热平衡。(4)这个世界充满了光的折射媒介质,折射率与R^2-r^2成反比。以上这些假设,没有什么是矛盾的或不可想象的。直观的图形可以参见左图。这就是非欧几何的一种。

从我们通常的几何学观点来看,这个世界是有限的,但对于这个世界的居民来说,它却是无限的。因为当居民试图接近有限球面时,他们逐渐变冷因而变得越来越小,他们迈出的步子越来越小从而永远达不到有限球面。

由假定(1)可以推算出来在这个世界中最短路径不是直线,而是圆弧,这圆弧将垂直于边界。假定(4)则保证了光的物理性质:光总走光程最短的路线,从而保证这个世界的居民对光的研究和对固体的研究是一致的。

说这个世界是非欧几何,最主要的证据是它违反了欧几里德的第五共设。注意,在庞加莱模型中过“直线”外一点可以做出无数条与该直线平行的“直线”。为了搞清楚这句话的确切意思,我们需要明确一下“直线”的定义,“直线”指的是过两点的最短路径,所以在此模型中“直线”就是连接两点并且垂直于边界的圆弧。

还应该注意,在这个模型中三角形的内角和小于180度。

庞加莱圆盘模型庞加莱圆盘模型

庞加莱圆盘模型庞加莱圆盘模型

 最后,再放一张我在这篇文章中提到过的艺术家埃舍尔的画作《天使与魔鬼》,这幅画中的天使和魔鬼就处在庞加莱圆盘模型当中。

埃舍尔 escher 视觉 错觉 艺术 数学 非欧几何 庞加莱

好了,就写这么多吧,好久没有这么认真的写一篇文章了。

9 Comments Post a comment
  1. Lele
    Feb 21 2009

    非欧几何是魔鬼……这是我对它的唯一认识。

    Reply
  2. derek
    Jan 20 2010

    看了博主几篇关于人工智能的思考,很欣赏,推荐一本书用来完备你的想法---菲利普纳尔逊《生物物理学:能量、信息、生命》。 加油^_^

    Reply
  3. Aug 1 2014

    定理:三角形内角和不确定!既有大于180,也有等于180,更有小于180

    Reply
  4. Jul 14 2015

    “直线”指的是过两点的最短路径,所以在此模型中“直线”就是连接两点并且垂直于边界的圆弧。问题是长度的定义来自于直线啊,不定义什么是直线也就无法测量长度,更加无法确定长短。另外光的物理性质不是总走光程最短的路线,而是过两个定点的光总走光程的一阶变分为零的路径。

    Reply
  5. Sep 1 2015

    最浪漫-数学(庞加莱的几何学):约定一个世界,伴随成长。有限无限都无妨。

    Reply

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