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December 29, 2007

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有趣的堵火车悖论

作者: physixfan

当年爱因斯坦(Albert Einstein)提出令人费解的狭义相对论之后,有很多人提出了各种各样的悖论,例如孪生子悖论,在例如今天我要说的堵火车悖论(这个名字是我自己叫的,不知道其他人叫它什么)。这个问题是这个样子的:

未来的某一天,科技高度发达,火车行进速度飞快,足以产生明显的相对论效应,人们也都精通相对论知识。一天,两个盗贼得知有一列载满富翁的火车将通过他们的地盘:一个中间有隧道的山坡,火车将从隧道穿过。已知隧道的长度恰好和火车静止时的长度相等。两个盗贼这样盘算:根据动尺缩短效应,我以我自己为参考系,火车将相对于我高度运动,长度将变短,因此我们可以两个人分别站在隧道的一段,等到火车车身完全在隧道内的时候,两人同时用一块石头堵住隧道两端,把火车封在里面,这样就可以下去抢财物了。富翁们不知从那里得知了倒贼要行动的消息,哈哈大笑,想到:他们不可能成功,根据动尺缩短效应,我以我在的火车为参考系,是山和隧道在高速运动,缩短的应该是隧道,因此我们的火车不可能在某个时刻完全处于隧道内而被封在里面。看来,他们两方说的都有道理,那么问题是:火车究竟能不能被封在隧道内呢?
爱因斯坦的“公说公有理婆说婆有理”的动尺缩短效应,在这样一个要么能封住要么封不住二者必居其一的命题前,显得更加令人费解了。希望大家能开动脑袋多想一想,先不要看我的理解。我声明:下面的解释是我在某天晚上睡觉的时候想出来的,不代表正统解释,谨代表个人观点。
这个问题应该分成两种情况来考虑,一种是石头能瞬间是火车车速减为零,另一种是火车要经历减速过程,即需要撞出去一段距离。

第一种情况是很好考虑的,不论从盗贼眼里,还是从富翁眼里,火车和隧道都是在火车撞上前面的石头时恢复静止长度,石头可以恰好封住火车。两人的观点一致,矛盾解除。

下面来看第二种情况。这样就要考虑另一个相对论效应——同时的相对性了。在盗贼眼里,石块同时落在火车轨道上,第一块石头被撞开一段距离,这是比较显然的吧。关键在于在富翁眼里,两块石头不是同时落下的,而是一前一后,在火车前面的石头先落下,后面的石头要过一段才落下。而当后面的石头落下来之前,火车的车尾就已经开过了隧道的后边缘了。这样,富翁的看法也与盗贼一致了,矛盾解除。

上边我都仅仅是定性的分析,谁要是闲着没事的话设个数算算,应该是对的。相对论确实有意思!我真的很期盼什么时候能坐上0.99c的火车!

-------------update on 2010.2.4---------------
关于这个问题更详尽深入的分析见舒幼生的《力学》里面相对论部分...