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April 25, 2014

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Turbulence 和 Chaos 的辨析

作者: physixfan

Turbulence 和 Chaos 这两个现象,在一定意义上说是相似的:都是会使系统产生类随机的运动,无法给出方程的完全解析解。但是这又是两个不同的词,在其各自的语境下使用着相当不同的研究方法去研究。于是很长时间我都有个疑问,turbulence和chaos到底是怎样的关系?今天跟一个老师讨论了一下,似乎他的解释相当靠谱。

Chaos的定义是,在相空间中两个最初靠的很近的轨线,其距离会随着时间推移指数增长。于是产生Chaos的系统首先得有一个相空间,这要求系统有有限多个自由度。然而最初产生Turbulence的方程Navier-Stokes方程本质上则是场方程,速度场\mathbf{u}(\mathbf{x},t)是空间坐标的函数,空间的连续性就意味着这是个无穷多自由度的问题。无穷多自由度和有限个自由度的问题还是有着本质的区别的,这也就是为什么在研究Turbulence的时候不怎么讨论相空间啊吸引子啊Lyapunov指数啊什么的原因了。当然,如果引入其他假设来建立Model化简Navier-Stokes方程的话,它也可以用Chaos理论来研究的,比如最初让大家开始讨论Chaos的Lorenz方程组就是这么来的。更提纲挈领地看这个问题的话就是:常微分方程组可以用Chaos理论来研究,但是产生Turbulence的系统来自于偏微分方程,而偏微分方程的一般理论仍然是一个发展尚未成熟的数学领域,因此人们对Turbulence就没有很好的理论去使用了。

 

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4 Comments Post a comment
  1. May 3 2014

    谢谢博主指点

    Reply
  2. zhouleyu
    May 4 2014

    谢谢博主指点

    Reply
  3. empyrium
    May 6 2014

    常微分方程组对应有限个自由度,偏微分方程组对应无限自由度?不是太清楚这个东西,博主能不能再解释一下?

    Reply
    • chunchuan
      Jun 7 2014

      大概是说ODE中,一组(或者N组)(p,q)就可以描绘整个系统了。但PDE中,一个系统的状态和每个空间点上的值(比如一个波)都有关,而空间是连续的所以有无限自由度。

      Reply

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