Turbulence 和 Chaos 的辨析

Turbulence 和 Chaos 这两个现象，在一定意义上说是相似的：都是会使系统产生类随机的运动，无法给出方程的完全解析解。但是这又是两个不同的词，在其各自的语境下使用着相当不同的研究方法去研究。于是很长时间我都有个疑问，turbulence和chaos到底是怎样的关系？今天跟一个老师讨论了一下，似乎他的解释相当靠谱。

Chaos的定义是，在相空间中两个最初靠的很近的轨线，其距离会随着时间推移指数增长。于是产生Chaos的系统首先得有一个相空间，这要求系统有有限多个自由度。然而最初产生Turbulence的方程Navier-Stokes方程本质上则是场方程，速度场\(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)\)是空间坐标的函数，空间的连续性就意味着这是个无穷多自由度的问题。无穷多自由度和有限个自由度的问题还是有着本质的区别的，这也就是为什么在研究Turbulence的时候不怎么讨论相空间啊吸引子啊Lyapunov指数啊什么的原因了。当然，如果引入其他假设来建立Model化简Navier-Stokes方程的话，它也可以用Chaos理论来研究的，比如最初让大家开始讨论Chaos的Lorenz方程组就是这么来的。更提纲挈领地看这个问题的话就是：常微分方程组可以用Chaos理论来研究，但是产生Turbulence的系统来自于偏微分方程，而偏微分方程的一般理论仍然是一个发展尚未成熟的数学领域，因此人们对Turbulence就没有很好的理论去使用了。