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March 22, 2009

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趣题:求两圆柱相交部分的体积

作者: physixfan

昨天去图书馆看趣味数学大师马丁加德纳的小册子《意料之外的绞刑》,看到了这个趣题:求两圆柱相交部分的体积(两圆柱半径都为1)(正交)。要求是不用微积分,只用高中生就能看懂的简单数学。如果你难以想象那部分到底是个什么形状,下面这幅图可以帮帮你。

两圆柱相交部分的体积

答案:

用竖直的平面去切这个相交部分,例如用平面y=-0.5,不难想象无论取的是y等于几的竖直平面,切得的部分都是正方形。如下图:
两圆柱相交部分的体积

然后我们再想像有一个半径为1的球内切于两圆柱相交部分,用同样的竖直平面去截这个球,很明显截得的部分是圆,如下图:
两圆柱相交部分的体积

想像一下:这个球是内切于两圆柱相交部分的,因此截得的这个圆恰好就内接于刚才截得的正方形!对于每一个竖直平面来说都是如此。每一个正方形的面积是其内接于圆的4/π倍,而把面积一层一层累加起来就是体积,所以两圆柱相交部分的体积就是其内接球体积的4/π倍。球的体积是4π/3,因此两圆柱相交部分的体积就是4π/3×4/π=16/3!

这个方法貌似和祖暅原理很像,不过提出这个方法的人可比祖暅年代要早得多:是阿基米德!不得不佩服古希腊人的智慧!

19 Comments Post a comment
  1. gnocuil
    Mar 22 2009

    我问过你这个。。。而且是半径不等的情况

    Reply
    • Mar 23 2009

      真假..你会了??

      Reply
      • gnocuil
        Mar 24 2009

        就是生积分 今年集训队作业 你可以看看

  2. lala
    Mar 23 2009

    阿基米德是天才啊 🙂

    Reply
  3. Mar 23 2009

    看到我的邮件了吗?关于服务器续租的

    Reply
    • Mar 23 2009

      啊?没有啊??要不麻烦您给我重新发一个?

      Reply
  4. Mar 23 2009

    好像是我RP太差了,你到spam里看看吧。

    Reply
  5. 严酷的魔王那个
    Mar 23 2009

    好题

    Reply
  6. Mar 28 2009

    图片看不见~
    我的空间想象能力不好~
    不清楚诶,,,

    Reply
  7. Mar 28 2009

    还有。。那个n是代表什么的?

    Reply
    • Mar 28 2009

      图片现在已经好了
      那个不是n,是希腊字母Pi圆周率 字体问题...

      Reply
  8. Mar 28 2009

    看懂了~~谢谢啊
    看来你是一个很爱学习的孩子啊
    O(∩_∩)O~

    Reply
  9. shawtung
    May 24 2009

    这个不是二重积分么。同济高等数学第六版下册上的一道例题,不久前刚看过,记忆犹新,因为算不来。

    Reply
  10. Ashita
    Sep 19 2009

    牟合方盖

    Reply
  11. Oct 23 2009

    感觉在数学几何这方面越来越差了,差点看不明白,汗!

    Reply
  12. hite
    Nov 24 2009

    我也很喜欢数学,物理,哲学。在我的blog力做个链接,免得以后找不到

    Reply
  13. Mike
    Nov 28 2009

    nice!

    Reply
  14. Jun 14 2016

    牟合方盖~

    Reply

Trackbacks & Pingbacks

  1. 所谓三分之一底面积乘以高…… « lonelymoon

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