Skip to content

December 8, 2007

14

机械能守恒需要特殊参考系么?

作者: physixfan

一个从静止(相对于地面静止,将地面称作S系)开始自由落体的物体满足机械能守恒这是大家闭着眼睛都知道的事情,可是一天我突然想到了一个问题。如果我们换一个参考系,假如说我乘坐着一个电梯,以10m/s的速度(相对于大地)匀速下降,以我为参考系(称作S’系)来看前面这个自由落体的物体,机械能还守恒么?考虑到1秒的时候,物体相对于地面的速度也恰好是10m/s,我们不妨以0到1秒这段时间的状态来研究。一开始0秒的时候,物体相对我(S’系)有10m/s的向上的速度,势能是mgh。在1s钟这个时刻,相对于S’系物体静止了,即动能为零,而高度减小了,即势能也减小了,这样看来机械能不就不守恒了?!

这可能么?一个物理过程,以地球为参考系,机械能就守恒,而换一个相对它匀速运动的新参考系,机械能却不守恒了?强烈的物理思想告诉我,宇宙中不存在特殊参考系,能量守恒在任一惯性系中都一定是成立的。既然地球近似的看成惯性系机械能守恒了,那S’系没有任何理由违反机械能守恒!

问题出在哪里呢?对这个问题,我苦苦思索了两天,终于在一天睡觉的时候悟出来了。原来,问题就出在地球这个“近似”的惯性系上。虽然地球质量极大,在处理一般问题的时候可以认为是很好的惯性系,可是就在现在这个小问题上这个近似出现问题了。请听我慢慢讲解。

地球在吸引物体,物体也在吸引地球。物体获得了加速度,地球也因此获得了加速度,虽然这个加速度极小。我们写出地球的加速度:Gm/(r^2)。这当然是个无穷小量,但我们先保留它,后面他会发挥巨大作用。这样我们就不把地球当成惯性系了,同样的,S’系就因此成了非惯性系,它相对于空间中的惯性系(地球与物体的质心就是这么一个很好的惯性系)加速度是Gm/(r^2)。因此在S’中看一切现象,都不要忘记加上一个虚构的力:惯性力。千万不要觉得这个惯性力很小,作用在物体上的惯性力是Gmm/(r^2),可是别忘了系统中还有个地球,他受到的惯性力是GMm/(r^2),正是M在分子上的出现,使得惯性力的大小变得不可小视!这样一来,因为惯性力的做功,机械能不守恒就成了很自然的事了。

那么为什么直接以S西看就没这么个问题呢?为什么我们一直以来以地面为参考系研究问题,却几乎没遇到过不得不考虑惯性力做功的情况?答案是:以地面为参考系,虽然地球受到惯性力,可是惯性力没有位移,因此做功为零!至此,我想这个问题大家应该彻底明白了吧!

可能你会和我一样,接着想到另一个类似的问题:假如现在我坐在这样一个电梯上,这个电梯相对于物体与地球的质心(C系)以10m/s的速度向着地球运动(这个电梯称作C’系),同样会出现第一段分析的机械能的莫名不守恒,这该怎么解释?现在的问题肯定不是出在非惯性系上了,因为我们选择了一个绝对的惯性系。对于这个问题,之所以觉得机械能减少了是因为又忽略了地球的速度变化,把地球看成不懂的。现在的地球相对于C’系不再是像上一个问题那样速度没有改变了,他的速度稍有改变,虽然很小很小,但是别忘了算动能的时候前面还会乘上一个很大很大的质量,导致其动能改变不可忽略,如果你能耐心去算算的话,会发现这个动能增量正好弥补了物体机械能的损失。因此,在这个问题中机械能其实是守恒的,认为他不守恒完全是我们的过失,是我们想当然的忽略了地球速度的变化。

通过这两个问题,我们会更加坚信这样几个事实:对于一切惯性系,机械能守恒的定律一定成立(如果有外力或内非保守力做功,则动能定理一定成立)。世界上不存在特殊参考系,一切惯性系等价。如果不小心选择了非惯性系作为参考系,则分析问题时只要引入惯性力则动能定理仍然成立。给我们的警示就是:不要想当然的忽略地球的速度变化及其加速度,一定要先想清楚!