几道有意思的小数学题

1.“一切无理数的无理数次方一定是无理数”，试证明此命题或举出反例。

2.两人在1，2，3，……，9这九个数字中轮流取数，不准重复，谁先取到三数之和为15谁就赢了。问先走者有没有一个稳操胜券的策略？

3.汽油危机已经来临，大家都在叫油荒。分散在长长的环形公路各处的加油站所存的油量仅仅够你跑一圈而无点滴富余。请证明，如果你在一个合适的加油站开始启程，把空油箱加足了汽油，你有充分把握可以跑完一圈，不会中途抛锚。

请先仔细思考再看解答.

1.“一切无理数的无理数次方一定是无理数”，试证明此命题或举出反例。

Solution:这个命题是错误的，有一个构造巧妙的反例：我们设

如果x是有理数，那x就是该命题的反例；如果x是无理数，那么我们来看看x的根2次方是多少——它就是2！！！于是反例找到了。

2.两人在1，2，3，……，9这九个数字中轮流取数，不准重复，谁先取到三数之和为15谁就赢了。问先走者有没有一个稳操胜券的策略？

Solution:答案是没有必胜策略。解决这个问题的最简单办法是把它转化成另一个我们都很熟悉的问题。首先构造幻方如下：
4 9 2
3 5 7
8 1 6
横行竖列对角线的和都是15，因此他们两个人玩得其实就是“吃井字”游戏(“吃井字”游戏就是在3×3的格子里画圈叉，三个连成一条线就赢了的那个游戏)！我们都知道“吃井字”游戏是没有必胜策略的，双方可以打成平局，所以原问题也没有必胜策略。

3.汽油危机已经来临，大家都在叫油荒。分散在长长的环形公路各处的加油站所存的油量仅仅够你跑一圈而无点滴富余。请证明，如果你在一个合适的加油站开始启程，把空油箱加足了汽油，你有充分把握可以跑完一圈，不会中途抛锚。

Solution:设想你在第一站带上足够的燃料，沿着公路环行，每到一处，便做好记录油箱里还有多少油，并把那里的汽油全部倒进油箱。当你回到第一站时，你将发现，油箱里的剩油与出发时一样多。总有一站油箱里的油量最小，我们就从这站开始启程，这样保证环行一周途中不愁汽油断档。