献给业余数学之王：澄清对费马原理的误解

2011年8月17日，是费马（Pierre de Fermat）诞辰410周年。今天， 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。

除了费马大定理，相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光，实际路径总是光程（或者时间）最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理，从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律，几乎包含了几何光学的全部内容。然而，对于这个原理，很多人都存在着或多或少的误解，这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里，本文就来一一澄清。

首先说明一点，在费马原理的表述中，光程和光传播所用的时间是等效的，因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。

最小作用量原理与物理之美2——费马原理

对于几何光学中的许许多多的定律，费马找到了一种统一的描述，现在被称为费马原理，被认为是最小作用量原理在几何光学中的特例，是最小作用量原理最早的成功例子。上一篇文章并没有真正写最小作用量原理，写的仅仅是一些简单的极值问题（千万不要认为那就是最小作用量原理），而本文与下一篇文章则将写最小作用量原理在几何光学与动力学的特例，并给出比较精确的数学公式（这是为了后面的横向比较和更深刻地理解最小作用量原理），对微积分头痛的人可以跳过公式只看文字。

费马原理是这么说的：过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。
其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是：

其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。为了理解上式的含义，我们需要和导数做一个类比。我们对一个函数求导数，如果导数值等于零，那么可以判断出原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。上面的式子和导数有一个显著的不同，导数研究的是以字母为自变量的函数的极值，而上式想求的则是以一个函数（位置随时间变化的函数）为自变量的泛函的极值。我们把每一条路径看作是位置随时间变化的函数，把这个函数看作自变量，我们要求的则是各条路径中光程取极值的那条路径；就像我们求导求的是各个x中使得y取极值的那个点。函数求极值可以用导数，泛函求极值则可以用变分法，即δS=0（其中S是一个泛函）。大家就把δ理解成和导数相类似的东西就可以了。…

一只眼真的不能判断距离

以前从很多书上看到这个结论，可我始终不能相信。我用一只眼，明明看到远的就是远，近的就是近，怎么会判断不了距离呢？

在浙大听讲几何光学的老师讲的一个实验之后，我是真的折服了。这个试验是这样的：闭上一只眼睛，伸出双手的食指，前后错开一定位置，然后尝试着把两指的指尖对到一起。你会惊奇的发现，这个事情你很难办到！可能会成功几次，但是并不是那么容易。如果你睁着两只眼试试，保准你不费吹灰之力就能办到！有意思！…