直上九宵的指数方程
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细推物理须行乐 何用浮名绊此身
有一道很简单的小问题：求解方程
$$\Large x^{x^{x^{x^{…}}}}=2$$
这样的方程解起来是很简单的，因为最低下的x的指数是他本身，即它的指数是2，因此该方程等价于x^2=2，立刻解得x=√2。
但是，如果题目地形式稍微一变，变成这个样子：
$$\Large x^{x^{x^{x^{…}}}}=4$$
用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。
现在问题来了，既然如此，那么表达式
$$\Large \sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{…}}}}$$
到底等于几呢？2还是4？
这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看：为了求出这个数的上界（这个词貌似用的不太合适），把这个数顶上的√2用更大的数2来替代，则整个表达式坍缩为2，所以结果是不可能大于2的。因此实际上第二个方程是无解的…
看来一旦涉及到了无穷，什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出曾根哎…
//好长时间不学无术了哎 为了不荒废这块土地更新一下…
//来自《最迷人的数学趣题》
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> 因为最低下的x的指数是他本身
这个错了吧？
这里没有什么问题啊 最低下的x的指数和他本身形式是一模一样的
又记得是在哪里看过的- –
“把这个数顶上的√2用更大的数2来替代，则整个表达式坍缩为2，所以结果是不可能大于2的。”
这样的描述是有问题的，顶上根本就没有一个“√2”可以被替换掉，因为顶上还是“√2的√2循环次”，也就是仍然是x，如果假设这个x=4,你替换成2,显然是把这个x变小了，所以变成2并不为怪。
也就是说光这样并不能说明x不可能大于2。
我那么说确实有些不严谨哎 不过是最简单的理解方式…
函数y=x^x^x^…当x在(0, e^1/e)时上界为e，但当x=e^(1/e)时y突然变成无穷大了。
因为x=e^(1/e)时，x^x^x^…=(e^(1/e))^(e^(1/e))^(e^(1/e))^(e^(1/e))^…=e^e^(1+e^(1+e^(1+e^………..)))
令e^(1+e^(1+e^(1+e^………..)))=y，自相似代换得e^(1+y)=y，无解，即x^x^x^…为无穷大。
所以y=x^x^x^..=4>=e无解，强行做自相似代换y=x^y也只得到增根。
上帖犯了一个低级错误，更正如下：
x^x^x^…=c的自相似代换是x^c=c，即x=c^(1/c)，在c=e时x取得极值e^(1/e)。
于是x>e^(1/e)时x^x^x^…的值为无穷大。因为x=e^(1/e)+ε=e^e^(δ-1)时，
x^x^x^…=(e^e^(δ-1))^(e^e^(δ-1))^(e^e^(δ-1))^…=e^e^(δ-1+e^(δ-1+e^(δ-1+e^………..)))
令e^(δ-1+e^(δ-1+e^(δ-1+e^………..)))=z，自相似代换得e^(δ-1+z)=z，当δ>0时无解（或者说解为无穷大），即x>e^(1/e)时x^x^x^…为无穷大。
函数y=x^x^x^…当x在(0, e^1/e]时上界为e，但当x>e^(1/e)时y突然变成无穷大了。
所以x^x^x^..=4>e无解，强行做自相似代换也只得到增根。
对 你这个解释严谨的正解..只不过这样表述比较繁琐…
x怎么会大于1呢？
f(x)>f(x)^x，在x>1时
你应当把x^x^x^…看成x,x^x,x^x^x,…这样一个数例的极限。然后自己用excel试算一下，x1,c>1时，可以有x^c<=c这才是关键，保证数列通项可以有上限。
x1应是x>1
为什么会坍缩为2呢？
因为√2的2次方还是2..不断的算下来最后还是2
总觉得第二个方程的解有问题。
就是有问题..它应该是无解的…
既然同一个式子可以有不同的值，岂不是说这个式子不收敛？如果不收敛，讨论这个问题就没有意义。
一个例子是，y=1/x,当x=0的时候就没有意义，因为不收敛，当然它也可以有两个值……
这种无穷项的叠代的方法都是逻辑不严谨的方法，都应该是有前提的，都是要求收敛甚至有的要求绝对收敛的。
√2上有1个√2是1.6几，两个就是2，4个就是4啊。这样会不断的变大的，而且速度很快，肯定趋于无穷大的。
你用计算器稍微验证一下就可以知道 这个确实是收敛的 极限确实是2
这个悖论产生的原因源自于做法……
我们这里设a1=x
a(n+1)=x^an
而这种做法只用了递推公式
并未用到初始条件
例如上面的悖论，若初始条件2<a1<4就会得到极限为4，其余当大于4时，则会去想无穷大
所以只是初始条件的问题…….
按照那个式子 a1应该是√2的
这个问题有意思的地方在于 如果是让我单独解第二个方程 我肯定解出来x=√2就觉得解对了完事儿了…
所以很无奈的
第一个式子即使算出来解也不能算对
必须代回去重新证明……
而且证明貌似也挺麻烦的……
用程序算一下 答案是2
第2个方程好像无解吧。。
可以把第一个式子（那么多个√2）设为n
因为式子里有无数个√2
那么在式子下面再加一个√2也不会影响原式结果
所以有(√2)^n=n
显然 n=2
不知道这样是否合理？
换域名啦。来看看
对于方程x^x^x^…=m似乎只有当m在[1/e,e]上时才存在唯一的x使方程成立，而当m在(0,1/e)上时用原帖的方法解得x后，x^x^x^…的值会根据x的个数的奇偶性在2个不同的极限间跳动。
不知道我做的对不对？
为何我就没有学过这种求解方法呢，看了半天还是没懂。。
“因为最低下的x的指数是他本身”, 什么叫”他本身”? 会歧义好不好, “方程左项”不会说是吧?
“把这个数顶上的√2用更大的数2来替代”, 注意, 无穷, 无穷是什么懂不懂? “顶上”永远是方程左项, 先假设了方程左项不会超过2, 然后推出方程左项不会超过2, 真有追求…
用初等代数玩级数, 这是玩给初中生看的吧, 现在高中都学级数了
首先必须是收敛的吧…可以理解成极限 lim(x^x^x^x^x…x) 必须收敛.如果不收敛也就没有解罗…
额 这道题推导是错的 因为连幂运算一般不结合 不能简单的代换第二阶指数从而改变了结合性 而该题隐含假设了结合性 这就是悖论的起源 自己举几个例子即可