Nim游戏的必胜策略和Xor运算的神奇应用

上一篇日志里介绍了Nim游戏，他的必胜策略可不是那么好想的。这个游戏貌似很久以前就已经有了，可是必胜策略直至20世纪初才被哈佛大学的一个叫做Charles Leonard Bouton的数学家找到，可见其思维难度；可是，这个必胜策略却只要由一个运算就搞定了：Xor(异或)运算，可见Xor运算之神奇。没有好好学过程序设计的人估计对Xor运算不甚熟悉，更不可能知道他的神奇应用了，因此我先说一说Xor运算。

Xor运算是位运算的一种，和And、Or运算类似，假如a、b都是布尔变量，则a Xor b被定义为：a、b相异则为真(所以中文名字叫做异或)，a、b相同则为假。其真值表为：1Xor0=1, 0Xor1=1, 1Xor1=0, 0Xor0=0。众所周知，位运算也可以用于两个数之间，其定义就是把这两个数转化为二进制，然后一位一位的进行位运算。比如说1Xor4=(001)₂ Xor(100)₂=(101)₂=5。位运算除了具有交换律、结合律这样的普通性质之外，还有几条神奇的性质。

Xor运算的神奇性质之一，就是他自己是自己的逆运算，即对于任何两个布尔变量或者数有(a Xor b)Xor b=a。这一点可以从真值表直接验证。有了这样一个性质，我们就可以把交换两个数的函数swap改进一下。大家应该都知道swap可以这么做：

void swap(int a, int b)

{a=a+b; b=a-b; a=a-b;} 

现在我们知道了Xor运算是本身的逆运算之后，就可以把上面的函数改成这个样子：（在C/C++里面把Xor表示为^）

void swap(int a, int b)

{a=a^b; b=a^b; a=a^b;}

乍一看肯定会觉得这个交换函数写的非常诡异，但是仔细一看就知道其原理和刚才那个是一模一样的。而且因为计算机在执行位运算的时候肯定比加减法要快，所以用Xor写的交换函数实际上还更快呢。

这里有一个有意思的小问题：现在给你2n+1个正整数，其中有n对数和1个单独的数，（这里规定一对数的意思是这两个数相等），然后让你设计一种算法，把这个单独的数给找出来，要求时间复杂度为O(n)。比如说这2n+1个数是1 2 …

拈游戏

所谓拈游戏的规则是这样的：（在看了沙发的评论之后我才知道其标准名字应该是Nim游戏…）

桌面上有三行硬币，每一行中分别有a1、a2、a3个硬币，其中a1、a2、a3是可以任意指定的正整数。两个人轮流拿走硬币，每一次只能从某一行中拿走任意多个硬币，谁拿走最后一枚硬币谁就赢了。

比如说a1=1,a2=2,a3=3的情况吧，这时如果轮到我拿了，我可以从第三行拿走2枚硬币，或者可以把第三行的三枚硬币全都拿走，等等；但是我不能同时从第一行和第三行里各拿走1枚硬币。这个简单的情况，可以枚举所有可能性得出结论：先拿的必输。

当a1、a2、a3是任意给定的，在什么情况下先拿的必输呢？必胜策略是怎样的呢？这是一个相当有意思的问题，答案可绝不是显而易见一目了然的。而当我当年看到这个策略长什么模样之后，完全的叹服了。今天我就先不写必胜策略了，大家可以先自己想想，如果下周或者什么时候有时间了再来写。前一阵子我为了熟悉C++自己写了一个拈游戏的人机对弈程序，大家可以点击下面的链接下载。其中包含了必胜策略，所以只要你一步走错就一定会输。

拈游戏.rar

其实拈游戏不仅仅局限于三行硬币，其实最初的问题是N行的，而且神奇的是其必胜策略对于任何N都是一样的。其实这个拈游戏是我上小学的时候奥数老师跟我玩的游戏，最近才发现这个经典的有意思的游戏还有好多人没有玩过，故写此文……

猫捉老鼠问题

这个是我室友的力学老师留给他们的思考题，因为它完全符合思维过程相当困难、但是解答却极为漂亮简单的原则，所以我就转过来分享一下。

在数轴上，0的位置停着一个不动的老鼠，1的位置在初始时刻有一只猫。猫是可以走动的，每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时，猫就抓到老鼠了，游戏结束。问当猫走的步数趋向于无穷大的时候，最终捉到老鼠的概率是多大？一定要先仔细思考再看解答……

棋盘覆盖问题

有一个经典问题：8*8的棋盘，去掉了左下角和右上角2个格子，请问能否用31块1*2的骨牌覆盖整个棋盘。这个问题的答案应该人人都知道吧，染色之后一目了然。

那么，有人要问了：如果去掉的是1红1白的格子各一个，结果是怎样的呢？比如下面的这个图：

你可以自己画几个图试一试。你能证明一定可以覆盖？还是可以给出反例呢？…

几道有意思的小数学题

1.“一切无理数的无理数次方一定是无理数”，试证明此命题或举出反例。

2.两人在1，2，3，……，9这九个数字中轮流取数，不准重复，谁先取到三数之和为15谁就赢了。问先走者有没有一个稳操胜券的策略？

3.汽油危机已经来临，大家都在叫油荒。分散在长长的环形公路各处的加油站所存的油量仅仅够你跑一圈而无点滴富余。请证明，如果你在一个合适的加油站开始启程，把空油箱加足了汽油，你有充分把握可以跑完一圈，不会中途抛锚。

请先仔细思考再看解答.

 …