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Posts tagged ‘代数’

27
Apr

代数基本定理的一个最简单证明

//看懂本文需要且仅需要关于复数的基本概念。

代数基本定理,是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。从代数基本定理可以很显然的推论出我们可能在初中就已经熟悉的一个结论:一元n次方程必有n个根。虽然大家都已经对这个定理感到习以为常,但是其实它并不是显然的,因为如果只考虑实数,一元n次方程就不一定有根。当把研究对象拓展到复数时,一下子所有代数方程就有解了,这其实是一件很不显然的美妙结论。

关于代数基本定理,有很多很多种证明方法。貌似第一个证明是牛逼哄哄的高斯在博士论文中给出的…基本所有的证明方法都或多或少的用到了一些比较高等的数学,对于只有高中数学知识的人来说很难看懂。即使是《什么是数学》里给出的证明,也用到了一个并不是那么好理解的“卷绕数”的概念。但是,下面要给出的证明,只需要有关于复数的基本概念就可以理解,只要几句话就证明完毕了!此证明由北大数院的范后宏老师在“古今数学思想”课上提供。

代数基本定理证明:

设$$w(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+…+a_0$$

于是我们想要证明的结论就是:一定能找到某个z,使得w(z)=0。

我们先把z写成$$z=re^{i\theta}$$的形式。

首先,我们考虑r=0的情况。这时w(0)将是复平面上的一个点,并且这个点就是a0,且a0不等于0。(如果a0等于0那z=0就是原方程的解了,定理直接得证。)

然后,我们再考虑0<r<∞的情况。对于一个固定的r,如果这时我们让θ从0到2π连续变化,那么对应着w(z)将会在复平面上画出一条封闭的曲线,如下图。这个曲线可能是很扭曲的形状,也不一定是绕了一圈的,可能绕了很多圈。比如w(z)=z^2,当z的辐角从0到2π连续变化时,w(z)将在复平面上绕着一个圆转两圈。在这里我们并不关心这条曲线的具体形状。

最后,我们再考虑r->∞的情况。此时当z的辐角从2π连续变化时,显然w(∞)的所有值都将是无穷大(因为此时只有z的最高阶项是起作用的,而它前面的系数是1),对应着就是w(∞)将在复平面上的无穷远处画出一条封闭曲线,见下图。…

24
Aug

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

今天看到《数学家的眼光》(张景中著)写到了一个巨赖皮的数学证明方法,叫例证法,看完我都惊得不行了,就写到这里来和大家分享一下。
为了说明例证法,我们举一个简单的例子。试证明:(x+1)(x-1)=x^2-1。我们假设我们不会做(这不是在贬低你的智商阿)。现在我就讲一个所有人都肯定能学会的方法,用例证法来证明!

证明:令x=1代入原式,发现等式成立。
令x=2代入原式,发现等式成立。
令x=3代入原式,发现等式成立。
所以原式恒成立。

你看了可能会狂笑不止,有种想揍我的冲动,这什么东西,举了3个例子就说证明了原式?证明等式成立可必须是所有x都满足才行啊!可是,且慢,我可以告诉你,这样证明是严谨的。不信就听我仔细分析。…