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Posts tagged ‘级数’

14
Mar

3.14 Today Is Pi Day!

又是好久没有写什么东西了 哎 越是在家闲着就越懒 今天是传说中的白色情人节 不过这跟我没什么关系 今天还是Pi Day 那就说说Pi吧 顺便再熟练一下Tex

首先写一些有关$$\pi$$的漂亮的表达式。第一个表达式是最常见的一个,也就是这个表达式曾经激起了我无尽的好奇心,引我走上了自学微积分的道路。其证明在这篇文章中有。

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+…$$

$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots $$…

31
Dec

一个关于级数的疑问

大家应该很熟悉ln2的级数展开吧:
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+……①
把①两边每一项乘以1/2得到:
1/2*ln2= 1/2 -1/4 +1/6 -1/8+……②
上面②的数字间距比较大仅仅是为了与①的相关数字对齐。把①②相加,按照纵列结合各项,于是我们得到
3/2*ln2=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+……③
我们惊奇地发现,③的右边仅仅通过顺序的变换就可以得到①的右边,但左边却确确实实的不相等!难道无穷级数不支持交换顺序的运算?
有的人马上举出1-1+1-1+1-1+……这个著名发散级数跟我说无穷级数肯定不能交换顺序,可是一定要明确①和③两边是收敛的阿!收敛就决定了这不是个太小儿科的问题。
到底是从①变到③的某个过程不被允许,还是连收敛级数也真的不能交换顺序?我期待有谁能给我个令我信服的答案。

update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了,感谢网友们的帮助!…

22
Aug

一个有趣的级数

估计有不少人知道这样一个公式,1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=π/4

我很小的时候就见过这个,貌似叫莱布尼茨公式,觉得相当有意思,一些自然数的加减乘除居然出现了π!之后我对这个公式思考了好长时间,总是想不出来怎么来证明。我一直把这个问题记在心里,期盼着那一天能找到他的证法。

我曾经专门找过微积分的书和有关级数的数,遗憾的是,这么经典的一个无穷级数求和居然都没有写到。我近日在数学吧问了一下,好象没有初等数学的证明,有人贴出来了一个不过我没看明白。
有意思的是,今天在读《费曼物理学讲义》有关谐波的章节时,居然看到了这个等式的证法!呵呵,我都惊喜得不行了,居然在经典物理书里面看到了有意思的数学证明!我想把这个证法贴出来,供大家欣赏,相当精彩啊,不过没学过微积分的就不用看了。…