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Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

14
Aug

盘点数学里十大不需要语言的证明

0. 勾股定理&余弦定理

这个大家小学就学过的古老定理,有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思(Elisha Scott Loomis)在 《毕达哥拉斯命题》( Pythagorean Proposition)提到这个定理的证明方式居然有367种之多,实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。


实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况,而余弦定理的证明,同样可以不用语言。

1. 关于反正切的恒等式

30
Jul

e,一个常数的传奇

自然对数的底e是一个令人不可思议的常数,一个由lim (1+1/n) n 定义出的常数,居然在数学和物理中频频出现,简直可以说是无处不在。这实在是让我们不得不敬畏这神奇的数学世界。

欧拉恒等式

但凡说起e,一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。

$$e^{\pi i}+1=0$$
数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i,以及数学中最基本的两个符号,等号和加号,就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起,实在是让人叹服。

这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示,旋转这个向量,就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴,虚数为纵轴的坐标系。实单位向量,每次逆时针旋转π/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度,得到的向量就是:cosθ+isinθ。根据欧拉公式 e  = cosθ+isinθ可以看出 e  就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 e  意味着单位向量逆时针旋转了π,结果显然是-1。

增长规律

这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律:增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候,衰变率就和现存的放射性物质多少成正比;资源无穷多的社会,人口出生率将(近似的)和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解,则是由以e为底的指数增长所描述的:如果x的变化率等于变量x自身的λ倍,那么该变量随时间t的函数则为

$$x=Ce^{\lambda t}$$(C是任意常数)
而e的直观含义正是增长的极限,这个问题在 数学常数e的含义 中有过详细的介绍。

正态分布

27
Apr

代数基本定理的一个最简单证明

//看懂本文需要且仅需要关于复数的基本概念。

代数基本定理,是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。从代数基本定理可以很显然的推论出我们可能在初中就已经熟悉的一个结论:一元n次方程必有n个根。虽然大家都已经对这个定理感到习以为常,但是其实它并不是显然的,因为如果只考虑实数,一元n次方程就不一定有根。当把研究对象拓展到复数时,一下子所有代数方程就有解了,这其实是一件很不显然的美妙结论。

关于代数基本定理,有很多很多种证明方法。貌似第一个证明是牛逼哄哄的高斯在博士论文中给出的…基本所有的证明方法都或多或少的用到了一些比较高等的数学,对于只有高中数学知识的人来说很难看懂。即使是《什么是数学》里给出的证明,也用到了一个并不是那么好理解的“卷绕数”的概念。但是,下面要给出的证明,只需要有关于复数的基本概念就可以理解,只要几句话就证明完毕了!此证明由北大数院的范后宏老师在“古今数学思想”课上提供。

代数基本定理证明:

设$$w(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+…+a_0$$

于是我们想要证明的结论就是:一定能找到某个z,使得w(z)=0。

我们先把z写成$$z=re^{i\theta}$$的形式。

首先,我们考虑r=0的情况。这时w(0)将是复平面上的一个点,并且这个点就是a0,且a0不等于0。(如果a0等于0那z=0就是原方程的解了,定理直接得证。)

然后,我们再考虑0<r<∞的情况。对于一个固定的r,如果这时我们让θ从0到2π连续变化,那么对应着w(z)将会在复平面上画出一条封闭的曲线,如下图。这个曲线可能是很扭曲的形状,也不一定是绕了一圈的,可能绕了很多圈。比如w(z)=z^2,当z的辐角从0到2π连续变化时,w(z)将在复平面上绕着一个圆转两圈。在这里我们并不关心这条曲线的具体形状。

最后,我们再考虑r->∞的情况。此时当z的辐角从2π连续变化时,显然w(∞)的所有值都将是无穷大(因为此时只有z的最高阶项是起作用的,而它前面的系数是1),对应着就是w(∞)将在复平面上的无穷远处画出一条封闭曲线,见下图。…

25
Apr

赌场是凭借这个方法赚钱的吗?

众所周知,去赌场赌博,赢钱的一定是庄家。通过概率的不均等让你赔钱你肯定陪得心服口服,但是有人提出了这样一种赌场赚钱的方法,即使是输赢概率为1/2赌场也会赚钱,乍看起来似乎确实有道理:

就假设赌徒跟赌场玩的是赌大小的问题,输赢概率是严格的1/2。赌徒身上带着5元钱,每次下注1元。如果赌徒身上的钱在某个时刻输光了,那么赌徒就会离开赌场回家;如果赌徒连续赌了1000次都没有输光,赌徒在这个时刻就会停止赌博结算完毕回家去。如此一来,利用赌徒停止赌博两个边界条件的不对称性,随着赌徒增多,赌场就可以从中赚钱了~!

乍看似乎确实有道理,因为不仔细想的话会觉得赌徒输钱离开赌场的概率似乎确实比较大。但是如果写一个程序跑一跑看看赌场最终会赚多少钱,结果会出乎意料:赌场赚到的钱数将会在基本上以0为中心的一个范围内震荡,并不会随着赌徒人数增多而增多!

问题出在哪呢?其实这个结果也不算过于出乎意料。因为虽然赌徒输钱离开的概率是比较大的,但是他赔的钱就那么些;但是赌徒如果是赌了1000次才离开的,走的时候赚走的钱数可能相比而言是很多的。于是二者的作用是有可能恰好抵消的。如果你有耐心做详细的定量数学计算的话,其实是可以解析的给出这个问题的结果的,赌场赚到的钱数随赌徒人数怎么变化是可以精确算出来的。

但是还有一种很巧妙地思路可以一下子看出来,其实赌场从期望上来说就是不赚的!仔细想一下:…

30
Mar

什么是直线?

什么是直线?或者更加准确的问法是如何定义直线?不知道你有没有思考过这个问题。尽管我们实际生活中都有对直线概念的直观理解,但是考虑到后来非欧几何的问世,我们理应对直线有一个更深刻的认识。

欧几里得的几何原本上是这么定义直线的:“直线是它上面的点一样地平放着的线”,其中线的定义是“线只有长度而没有宽度”。显然在逻辑上这样的定义是极其不严格的,因为什么叫做“一样的平放着”只是一个日常生活中的直观概念。这也就是说欧几里得的几何原本相当于并没有对直线给出定义,尽管直线是几何学最基本的基本概念之一。

可能很多人会认为直线被定义成“两点间最短的线”(在这里就不去区分线段和直线了),然后就觉得在逻辑上就已经定义清楚了。但是这里还有一个问题,那就是什么叫做短?要有长短的概念就要先有距离的概念,而仅仅在几何学内考虑这个问题的话,要丈量距离就必须先有尺,而尺的形状又是直的,因此距离的概念其实是建立在直线的概念之上的。所以如果只考虑几何学那么用距离定义直线就成了循环定义了。

所以在数学上,我们就不能单从几何的角度去定义距离了。为了定义距离,我们需要在空间的每一个无穷小的区域上建立一个笛卡尔坐标系,在每一个小的笛卡尔坐标系内部可以通过普通的解析几何的方法定义出距离,然后在整个路径上对每一个小段上的距离进行叠加,从而定义出两点间连线的距离。之所以能在无穷小区域上建立笛卡尔坐标系,是因为一条曲线在无穷小区域上,我们可以把它近似为一小段直线(这个直线就是我们通常直观认识的直线),这个思想其实在最基础的微积分里面就已经有了。(如果一个空间奇异到在无穷小区域上无法建立笛卡尔坐标系,那么一般我们就不去研究它了。)至于为什么不能直接在大区域上直接建立笛卡尔坐标系来定义距离,原因很简单,坐标轴要画成直线啊,在没有直线概念的时候又哪里来的坐标轴呢…一个能够帮助理解的简单例子是在球面上定义最短线,如果直接建立笛卡尔坐标,其中的坐标轴就用我们直观感受的那种直线的话,那么最短线是必须脱离球面而经过球面之外的空间的。但是在球的表面的每一个无穷小区域上建立微小笛卡尔坐标系,就可以很好的沿着球表面定义出一条最短线。

至此,我们基本上可以把直线就定义成两点间距离最短的线了。但是,一定要知道一点,如此定义并没有定义出唯一一种直线。显然在一个球面上定义出的最短线,在我们看来其实是圆弧;在马鞍面上画出的最短线,在我们看来也是弯弯曲曲的线…他们都属于非欧几何。庞加莱圆盘模型(参见这篇文章)就是非欧几何的一种,按照那里定义的距离,圆盘模型内的直线在我们看来就成了圆弧了。

那么怎么定义才能保证刚才定义出来的直线就是我们通常直观上的直线呢?其实很简单,只要再加上一个公理,即传说中的欧几里得第五公设就可以实现:同一平面内一条线段和另外两条线段相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两线段经充分延长后在这一侧相交。非欧几何正是做出了与第五公设相反的假设而得名的,给出不同的公理,就会得出各种各样的非欧几何。

至此,我们终于可以引入Hilbert大神对直线的理解了:…

31
Jan

辛普森悖论:诡异的男女比例

大学的男女比例问题一直是广大宅男同胞所关心的重大问题,也是高中同学聚会时必然谈起的话题,对于选择大学来说,这也是一项重要指标~..

一天,我拿出两个大学(P大和T大)的统计数据开始研究。“物理学院,P大男女比例大于T大;数学科学学院,P大男女比例又是大于T大…哇,怎么所有专业P大的男女比例都高于T大啊…那还犹豫什么呢,我肯定报T大了!”正当我刚刚心意已定的时候,突然看到了统计数据的最后一行:P大的总体男女比例低于T大!“什么?!有没有搞错?怎么可能P大的所有专业男女比例都高于T大,但是整体男女比例却低于T大了呢?!肯定是哪里算错了吧…”于是我拿出计算器狂敲,却发现没有任何一个计算错了的数据,这种情况真的可能发生吗?

多说无益,请看下面编造出来的一份男女比例数据:(其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业)

物院的数据:

男生人数 女生人数 男:女
P大 45 8 5.6:1(大)
T大 101 51 2.0:1

外院的数据:

男生人数 女生人数 男:女
P大 50 201 0.25:1(大)
T大 9 92 0.10:1

学校整体数据(即上述两个专业人数之和):

男生人数 女生人数 男:女
P大 95 209 0.45:1
T大 110 143 0.77:1(大!)

数据可不会是骗人的,不信可以自己动手验算一下,真的出现了这种违背常理的情况!这种现象被称为“辛普森悖论”,虽然这么叫,但其实这不是个真正的悖论,它内部没有包含逻辑上的矛盾,只是违背了人们的常理。…