Skip to content

Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

15
Sep

直上九宵的指数方程

有一道很简单的小问题:求解方程

$$\Large x^{x^{x^{x^{…}}}}=2$$

这样的方程解起来是很简单的,因为最低下的x的指数是他本身,即它的指数是2,因此该方程等价于x^2=2,立刻解得x=√2。

但是,如果题目地形式稍微一变,变成这个样子:

$$\Large x^{x^{x^{x^{…}}}}=4$$

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了,既然如此,那么表达式

$$\Large \sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{…}}}}$$

到底等于几呢?2还是4?…

14
Aug

有趣的无规行走模型

昨天和一帮子同学出去玩,晚饭时间点完菜等待上菜的时候有两个同学玩起了一个非常无聊的游戏:甲同学扔硬币,乙同学猜正反面,如果乙猜对了则乙的鼻子变长1cm,反之如果乙猜错了则鼻子缩短1cm。(这个是和谐过的版本,原始版本变长变短的不是鼻子而是另一个猥琐的东西…)。他们正在无聊的玩,全然不知道这么玩下去他鼻子长度的绝对值期望是多少…其实,这正是我高一的时候在费恩曼物理学讲义上看到的一个数学模型:Random Walk(无规行走)。对于这个模型,我敢说绝大多数人凭直觉会觉得鼻子长度的绝对值最终的期望值会是0,但事实绝非如此,你可以自己扔几次硬币试试,正确的答案应该是你扔硬币次数N的平方根!

random walk 无规行走

下面给出证明,该证明基本来自《费恩曼物理学讲义》第一卷:…

1
Jun

几个数学娱乐

今天六一,这个曾经属于我们的节日。岁月无情的在我日渐苍老的脸上刻上了印记,看到照片上小时候稚嫩的我,看到肯德基里面孩子们无忧无虑欢乐的笑脸,我总有种莫名的感伤。今天写下几句小的数学娱乐,来祭奠逝去的似水年华。虽然我们不能企图永远年轻,但至少可以像小孩子那样笑颜永驻。

1.我已经证明了著名的数学难题:任何一个偶素数总能写成两个奇数之和。
2.对于这个数学难题:方程n^a+n^b=n^c对于n>2没有正整数解,我已经找到了一个极其简单的证明,甚至一页之内就能搞定。
3.我已经想到了一个绝妙的宇宙万能公式,只不过这里空白太小,写不下…(这句话曾经是我的校内网状态和QQ个性签名,用在有字数限制的地方特别合适)
4.原来任何进制都是10进制..
5.世界上有10种人,一种是懂二进制并且看贴回贴的人,一种是不懂二进制或者看贴不回帖的人……

29
Apr

《哥德尔 埃舍尔 巴赫——集异璧之大成》

最近正在家拜读传说中的旷世奇书《哥德尔 埃舍尔 巴赫——集异璧之大成》。当我刚刚看完第一章的时候就已经完全被这本书给镇住了,而且越往下读越被这本书深深的震撼。读这本空前的奇书带给我的精神上的愉悦感甚至要大于跟美女聊天…

哥德尔Godel是伟大的数学家(参见这篇文章),埃舍尔Escher是诡异的画家(参见这篇文章),巴赫Bach是人尽皆知的音乐家。《集异璧之大成》这本书讲了这三个人,三个完全不同的领域,结果你会发现这三个领域不仅仅是具有深刻联系,而且甚至可以说他们是一个统一体的三个不同侧面!英文版的封面画(下图)很好的反映了这一点。

哥德尔 埃舍尔 巴赫 集异璧之大成 godel escher bach

22
Apr

点猜想

首先在平面上任意给定不全共线N个点,然后在点之间连线,以保证任意两个点之间都有直线连接。所谓点猜想就是说,在这样的情况下,总存在直线仅过两个点。

点猜想 证明 反证法如果给定了A~F六个点的位置如图,则整个图形形状就是左图,DE和AF就仅过两个点。你可以简单尝试一下,试着自己画几个点,你会发现确实无论如何也不能让所有的直线都通过三个或三个以上的点。

这个问题是小时候就见过的,在苦苦思索了好一阵子无果之后就给渐渐淡忘了。今天去图书馆看书偶然间又看到这个问题了,觉得还是挺有意思的,不过还是没什么思路。上面的介绍居然说,点猜想在被提出之后几十年内没有人能够证明!看似如此简单的问题居然还难倒了一大批人呢!但是,当最终证明被发现时,虽然思路非常灵活巧妙,却是异乎寻常的简单,连初中生都能看懂!不知你能不能自己证出这个猜想呢?…

1
Apr

关于e、Pi和整数之间关系的重大发现

今天我偶然的发现了这样一个令人吃惊的事实:数学中最重要的两个无理数e和Pi居然和整数有一个绝妙的联系,请看下式:

$$e^{sqrt{163}\pi}=262537412640768744$$

等式的右边居然是一个整数!

当然这个等式用中学统一发的小计算器是验证不了的,因为显示位数不够;Windows自带的那个傻乎乎的计算器貌似也不行,除非你给出足够精确的Pi的值。如果你安装了Mathematica的话可以进行简单的验证,比如N[E^(Sqrt[163]*Pi), 20]或者N[E^(Sqrt[163]*Pi), 25]等等,可以验证这样一个惊人的等式。…