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Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

17
Jan

复数方法巧解平面几何题

快放假了才买到《复分析——可视化方法》这本书,相见恨晚啊,这本神书,如果我能早点读,这学期的复变函数估计就学的不会这么吃力了。。。在这本书开头的地方有一个用复数方法解决平面几何问题的例子,我一看便惊了:这正是我初中时候见到的一道印象极其深刻的平面几何题,曾为它绞尽脑汁也没有想出做法呢,然而这本书就用复数的方法巧妙而自然给解决了~ 贴出来共享一下。

题是这样的:证明,在任意四边形的四条边上各做一个正方形,那么连接相对的正方形中心的线段互相垂直并且等长。示意图如下。

geometry

17
Nov

人的非理性选择

考虑这样一个情景:两个古董专家利用公款在国外买了一个珍贵的古董,但是他们回国的时候因为飞机的托运,把古董给摔坏了。航空公司决定赔偿,但是古董这种东西,价钱可不好衡量,万一他们漫天要价航空公司也不好辨别,于是他们就想出了一个招:把这两个专家隔离开来,分别问他们这个古董的价格,然后按照两个价格中较低的那个进行赔偿,同时再付给报低价的那个人同样多的钱(如果两人报价相同就只照价赔偿而不另外付钱)。//注:额外给的钱是奖励给个人的奖金,你并不能指望你的同事拿到这笔钱之后跟你平分…

这一招可够狠的,如果这个古董的价格在两位专家心里都是1万美元,他们会如何报价呢?A会想,如果B如实报了1万美元,那我报9999美元,就可以净赚很多。可是,转念一想,如果B想到了我会报9999元,而报9998元怎么办?那么我的对策就是,我说9997元..可是,如果B连这一步也想到了怎么办…如此下去,想的越深,报价就会越低,如果按照经济学中的理性人假设的话,如此分析下去,两个人只有都报0元才能最终达到纳什均衡,而这个结果却正是最坏的结果。

那么在实际中遇到类似情况大家会怎么报价呢?

这让我想起了在学而时嘻之看到的一个案例。《金融时报》刊登了一个很诡异的广告,说你可以随便写一个0~100之间的整数寄回编辑部,然后如果你写的这个数最接近所有寄来的数的平均数的2/3,你就可以获得一张伦敦到纽约的头等舱往返机票。

如果是你你会写几呢?…

12
Nov

上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?

小时候看《时间简史》,对里面一副插图里的话印象很深:“上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?”,从此我便把它作为上帝不是万能的这一命题的证明。因为,如果你回答“能”的话,那么上帝就连某块石头都搬不动;而如果你回答“不能”的话,那么上帝就连一块满足某条性质的石头都造不出来,他也不是万能的。

但是,其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。

这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上,对于定义有一条不起眼的要求,那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数,从理论上来说我得证明这种数是存在的,我们可以举个例子来证明其存在性,比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符,我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊…我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然(举个例子就可以了),因此在课本里从来不出现,但是这绝不意味着存在性证明没有用,尤其在抠逻辑漏洞的时候。

比如说吧,我要定义一种数叫做“蛋疼数”,他被定义为“大于2的偶质数”,显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论,看上去完美无缺而且非常漂亮,可是回过头来一看,哎呀,蛋疼数居然不存在,那整个理论体系的根基就倒塌了。

再比如说,我要定义一种数叫做“牛逼数”,他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”,很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数…这样,牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例,这可实在不是一件很显然的事情…

好了,回到上帝是不是万能的问题上来。…

31
Oct

神秘的本福特定律

统计一下世界上237个国家的人口数量,你觉得其中以1开头的数会占多大比例,而以9开头的数又占多大比例呢?如果你的回答是都为1/9,恭喜你你是正常人,但是事实却不是如此:以1开头的数惊人的占到了27%,而以9开头的数却只占5%。下图可以很形象的展示出在各国人口数量问题上,以各个数字开头的数占了多大的比例(图片来自维基百科)。为什么会相差这么大呢?这正是神秘的本福特定律在起作用。

本福特定律,也称为本福德法则,说明一堆从实际生活得出的数据中,以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成,接近期望值1/9的3倍,推广来说,越大的数字,以它为首几位的数出现的机率就越低;精确地数学表述为:在b进位制中,以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。

在十进制中,首位数字出现的概率为:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6%
13
Sep

网络舆情影响力指数

前两天的数学建模题太sb了..作为我们模型的副产品,我们搞出了一套网络舆情影响力指数的模型,而且我们把中国各大高校作为关键词做了一个影响力排名,结果还是非常靠谱的,北大以绝对优势夺得第一的位置~。。下面这个框可供大家随便搜索任何关键词自己试试。。
下面是我们计算出的大学排名:
1 北京大学 85.895833 62 上海财经大学 16.195876
2 中国人民大学 55.535354 63 东北师范大学 15.937500
3 清华大学 55.454545 64 北京中医药大学 15.680412
4 浙江大学 53.090000 65 郑州大学 15.563830
5 上海交通大学 45.765306 66 中央美术学院 15.368421
6 复旦大学 44.464646 67 合肥工业大学 15.149425
7 南京大学
7
Apr

椅子的稳定性问题

4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳?

这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过,当时觉得这问题太诡异了,怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手,看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的,一定可以找到一个位置使得椅子放稳!

题目的条件先解释一下,4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复,确实题目里有隐含条件需要明确地写出来:(1)椅子是正方形的…(2)四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长…(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳(即认为地面的摩擦系数无穷大)…(4)起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。…