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Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

8
Feb

奇妙的证明:周长相等的所有平面图形中,圆的面积最大

我首先要证明,面积最大的图形满足一个性质:一条平分周长的直线(暂且把它叫做周长平分线),一定也平分面积。因为,如果不平分面积的话,那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去,使得周长不变,而面积增大(如左图,红色曲线围成的面积大于蓝色曲线)。好了,接下来,我要再证明面积最大的图形满足第二条性质:周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形,必然是直角三角形。因为,如果它不是直角三角形,我可以把他拉伸或压缩一下,使它成为直角三角形,这样新三角形的面积大于原三角形的面积(证明省略,主要使用S=absinθ/2),而图形其他部分面积不变,这样面积就扩大了。因此,面积最大的图形满足上述两条性质,我们就不难推出它是圆了。

27
Jan

圈套

最近佘飞告诉了我一个赌博的方法,乍一听真得挺管用,当时就在我们班掀起了一个热潮。

其方法大致是这样的:完诸如赌大小的几率对等的游戏时,假设你的本金足够大。第一次先压$1,如果输了,下次再压$2,如果这次又输了,下次压$4,如果还输,下次就压$8……一旦你赢了一次,先前所有的损失就全赢回来了,还赚$1,这时你再从$1压起。如此下来,你只要不连续输十几次,你就永远不会血本无归,总是一直一美元一美元的赚,赚到你满足为止。如果你连续输个十几次,那只能怨你运气实在太差了。
这么一听,还真有道理,如果真这么去赌,那不是只赚不赔么?

我有点怀疑,但不敢确定,于是第二天用电脑编了个程序来验证。源代码我懒得在敲一遍了,反正很简单,就是按这个方法模拟,用个随机函数来验证就行了。

结果出乎意料,当本金是$10000时,电脑刚运行了几十秒钟就显示本钱花光了。我又试了几次,结果还是如此。我又改了$100000,结果运行了几分钟都花光了本钱。难道这个方法行不通么?

后来,佘飞道出了其中的破绽。…