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September 3, 2020

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Risk Parity 的具体含义,以及与 Inverse Volatility 的区别与联系

作者: physixfan

在《Adaptive Risk Parity 投资策略:动态调整UPRO和TMF的比例》及相关文章的评论区里,有不少朋友不满足于UPRO和TMF这两个投资标的,而是还想加入TQQQ或者UGLD等一起按 Risk Parity(风险平价)的思想来投资。我个人不打算投资这些其他的标的,但是其他人这样投资我也不会强烈反对。

但是有一个问题需要注意一下:Risk Parity 并不总是等价于 Inverse Volatility。在那篇文章里提到的网友分享的Github代码,实际上计算的是 Inverse Volatility。只有投资标的数量为2的时候 Risk Parity 才等价于 Inverse Volatility!

Risk Parity 的定义

下面我来讲一下 Risk Parity 的具体含义,以及为什么它在除了N=2的时候并不等价于 Inverse Volatility。

Wikipedia 上对 Risk Parity 的介绍就写的不错:Risk Parity 的目标是让portfolio里的每一个部分对总的 volatility 贡献相等,以此来求每个标的的比例或者说权重。假设我们的portfolio由 \(N\) 个投资标的构成,它们分别是 \(x_1, x_2,…x_N\),设 \(x_i\) 对应的权重为 \(w_i\)。设协方差矩阵 (covariance matrix) 为 \(\Sigma\)。Portfolio的总 volatility 为:

\[\sigma(w)=\sqrt{w^T\Sigma w}\]

因为 \(\sigma(w)\) 是1次齐次函数,根据齐次函数的欧拉定理,可得:

\[\sigma(w)=\sum_{i=1}^N\sigma_i(w)\]

其中

\[\sigma_i(w) = w_i \cdot \partial_{w_i} \sigma(w) = \frac{w_i (\Sigma w)_i}{\sqrt{w^T\Sigma w}}\]

从而 \(\sigma_i(w)\) 可以被理解为第\(i\)个投资标的对 volatility 的贡献。

Risk Parity 要求每个部分贡献的 volatility 相等,即要求 \(\sigma_i(w)=\sigma_j(w)\) 对所有 \(i,\  j\) 成立,或者等价地:

\[\sigma_i(w) = \sigma(w) / N\]

所以我们需要求解的就是以下这个方程组,我们把它称作 (*) 式吧:

\[w_i = \frac{\sigma(w)^2}{(\Sigma w)_iN}\]

其中有一个方程并不是独立的,但是别忘了还应当补充一个方程即 \(\sum_{i=1}^N w_i=1\),这样就是N个方程N个未知数了。

在 Wikipedia 的页面里还提到可以把这个问题转化成一个最优化问题,但是按我的理解只有N非常大之后才用的上,在N比较小的时候直接联立求解即可。

N=2 的情况

我们接下来看看 \(N=2\) 的情况,直接把 (*) 式展开写:

\[w_1\Sigma_{11}w_1+w_1\Sigma_{12}w_2=\frac12\sigma(w)^2\]

\[w_2\Sigma_{21}w_1+w_2\Sigma_{22}w_2=\frac12\sigma(w)^2\]

因为协方差矩阵的对称性,\(\Sigma_{12}=\Sigma_{21}\),我们直接把两式相减即可得到:

\[\frac{w_1}{w_2}=\frac{\sqrt{\Sigma_{22}}}{\sqrt{\Sigma_{11}}}\]

这个结果就是所谓的 Inverse Volatility 了,可见协方差矩阵的非对角项完全没有出现。

N=3 的情况

\(N>2\) 的情况道理都是类似的,我们就以 \(N=3\) 来做简单的说明吧。我们把 (*) 式展开写:

\[w_1\Sigma_{11}w_1+w_1\Sigma_{12}w_2+w_1\Sigma_{13}w_3=\frac13\sigma(w)^2\]

\[w_2\Sigma_{21}w_1+w_2\Sigma_{22}w_2+w_2\Sigma_{23}w_3=\frac13\sigma(w)^2\]

\[w_3\Sigma_{31}w_1+w_3\Sigma_{32}w_2+w_3\Sigma_{33}w_3=\frac13\sigma(w)^2\]

这时非对角项 \(\Sigma_{12}\), \(\Sigma_{13}\), \(\Sigma_{23}\) 就无论如何都消不掉了。这几个非对角项的含义是标的之间的相关性,其实也很容易理解,像UPRO和TQQQ这种相关性如此之大的投资标的,其相关性肯定要有所考虑才对嘛。

大家可以自行验证,当标的之间两两没有相关性时(即协方差矩阵的非对角项全部为0时),Risk Parity 就退化成 Inverse Volatility 了。

总结

只有当投资标的数量为2的时候(例如只投资UPRO和TMF),才可以用计算 Inverse Volatility 的代码来计算 Risk Parity 的比例。当投资标的数量>2时,请一定要自行写代码,考虑上标的之间的相关性,以求得正确的 Risk Parity 比例。

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2 Comments Post a comment
  1. Romaine Lara
    Dec 4 2020

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    Reply

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  1. Adaptive Risk Parity 投资策略:动态调整UPRO和TMF的比例 - 宇宙的心弦

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