献给业余数学之王:澄清对费马原理的误解
2011年8月17日,是费马(Pierre de Fermat)诞辰410周年。今天, 谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。
除了费马大定理,相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光,实际路径总是光程(或者时间)最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理,从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律,几乎包含了几何光学的全部内容。然而,对于这个原理,很多人都存在着或多或少的误解,这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里,本文就来一一澄清。
首先说明一点,在费马原理的表述中,光程和光传播所用的时间是等效的,因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。
百度百科的不靠谱说法
不妨先看看 百度百科 给出的费马原理的定义:光波在两点之间传递时,自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述,只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。
从A发出的光线,经过平面镜的反射到达B点,这条光线必然是可以真实存在的。可是这是光程最短的路径吗?显然不是,从A发出直接到达B的光线光程更短。所以使用“最小”一词是绝对错误的,费马原理其实是个局域性的原理,所有诸如最小的词均应当替换为极小。只要光程取极小值,无论是否是最小,它都是真实存在的光线。
用“极小值”表述正确吗
…最小作用量原理与物理之美3——牛顿力学
就像最小作用量原理可以推导出所有几何光学定律一样,力学中也存在一个最小作用量原理的特例可以推导出整个牛顿力学。今天我们就来研究研究这个。
有这样一个事实:假定有一个质点在引力场中通过自由运动从某处移动至另一处——你把它抛出去,他就会上升又落下。如果画出x-t图(为了简化,只考虑一维的运动,设x轴是竖直的轴),那么运动图像是一条抛物线。你可以尝试着通过起点和终点画一些别的曲线,如果计算出经历整条路径期间动能减重力势能对时间的积分,你会发现所获得的数值比实际运动所获得的要大。如果我们设作用量S为
那么上面的事实换句话说就是作用量S在实际运动中取得最小值。对上面字母的解释:t1、t2表示运动的起点和终点时刻,1/2*m*v^2是研究物体的动能,V(x)是其势能(这里把它写成是随x变化的函数)。当物体只受重力的时候,V(x)=mgx。我们在上一篇文章中说过,一个泛函取得极值可以令其变分等于0,所以在力学中,最小作用量原理的特例就写作:…
最小作用量原理与物理之美1——自然中无处不在的极值
观察自然界的各种现象,会发现极值往往出现。知道这一点非常重要,在最小作用量被明确提出之前,人们已经研究了很多极值问题。我们先来看一些比较简单的极值问题,会对最小作用量原理有一个更深刻的认识,也能从中看出最小作用量原理的起源与历史。
物理定律都有两种表述形式:一种是普通的我们高中学的形式,用力、加速度、电场强度等概念描述的物理定律;另一种是极值的形式,在一个物理过程中某个量取得极值。这两种表述形式是等价的。
先看一个最简单的例子,如图,两个电阻R1、R2并联,输入的电流为I,求I1、I2是多少。
这个问题初中生都会做,用并联时电压相等加上欧姆定律就可以作了。可以容易的求得
现在我们换一种方法:I1、I2的取值使得热功率最小。…
最小作用量原理与物理之美0——导言
爱因斯坦说过:“我想知道上帝是如何设计这个世界的。对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我不感兴趣。我想知道的是他的思想,其他的都只是细节问题。”近代物理隐隐约约的表明,我们人类似乎已经接近于上帝的终极设计了,最小作用量原理、对称与守恒可能就是上帝设计世界的原则。最小作用量原理、对称与守恒不同于F=ma、F=GMm/r^2、F=kx、F=kQq/r^2这类的普通物理定律,他是物理定律的定律,是一切其他普通物理定律的基础。
最小作用量原理是一个令人神往的课题,费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了,我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个原理时,真是有种无法言表的喜悦,好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识,同时越来越被这伟大的原理所吸引。…