埃舍尔的数学艺术

20世纪的伟大艺术家埃舍尔(Escher)是个与众不同的画家，是个和我差不多的数学Geek。他的所有艺术品都不是通常的画作，而是充满数学气息或者是现实中不可能的视觉错觉作品。在所有艺术家中，我最欣赏的就是埃舍尔，甚至甚于达芬奇。虽然埃舍尔的作品初期被当作异类来排斥，但是随着岁月流逝，越来越多的人狂热的喜爱起了他的作品，尤其是对数学有癖好的人。这篇文章将带着大家看看埃舍尔是如何将数学与艺术完美结合。

给大家展示的第一幅画叫《天使与魔鬼》，是我见过的最强的艺术品。这不是一个普通的圆，而是一个非欧几何空间，最早是由庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）提出了这个模型（参看我的这篇文章）。而填充整个非欧几何空间的，居然是有着强烈反差的白色天使和黑色魔鬼，真是绝了！
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拓扑学与克莱因瓶

前几天借了图书馆的一本《拓扑实验》闲着没事儿看，结果令我惊奇的是我周围的大牛们居然没有几个人听说过拓扑学。这么有意思的一个数学分支，不知道的话也太可惜了。

拓扑学是一门新兴的学科，大概是从20世纪开始正式被人们所研究的。它和以往人们所研究的几何不同，以前人们关注的东西是几何图形或几何体的角度、长度、面积、体积等，而拓扑学则研究的则是经过一系列扭曲、拉伸、压缩等操作仍然不变的性质。比如说，一个篮球可以被我拉成一个橄榄球，尽管形状变了，可能体积、表面积都变了，但是有一些重要性质是没有变化的：有两个面（内表面和外表面），封闭等。这些都是拓扑学的性质，这些都属于拓扑学的范畴。大家都很熟悉莫比乌斯带吧，它也是拓扑学的典型研究对象。

回到正题上。今天我想说的是拓扑学中的克莱因瓶。这是一种奇怪的瓶子，他有这么几个重要的性质：只有一个面，没有棱，没有顶点。这么个东西是很难凭空想象的，所以下面放了几张图可以供大家想象。…