为什么频繁交易的人大多数在股市上都赔钱了？一个有趣的小数学游戏也许可以解答

今天偶然读到了这篇文章，里面提到的一个简单的小数学游戏相当有意思。

假设有这么一家赌场提供了这么一个你可以玩无穷多次的游戏：扔一个硬币，若正面向上，则你的资产变成当下的 1.2 倍；若反面向上，则你的资产变成当下的 0.83 倍。你会选择玩这个游戏吗？

有两种分析这个游戏的方式。

第一种：不论我玩的时候的本金m是多少，玩下一次的时候，收益的期望总是 m*(1.2-1)*1/2+m*(0.83-1)*1/2。因为赢钱的时候赢 0.2 总是大于赔钱的时候赔 -0.17，所以期望总是正的，那就应该玩，而且要一直玩无限多次。

第二种：若一直玩下去，就会有赢有输，所以应该把 1.2 和 0.83 乘起来看是否大于1。结果是 1.2*0.83=0.996，小于1，因此久赌必输，不能玩。

这两种分析哪一种更有道理呢？大家可以先想想看。

我多年不学数学了，概率论早就忘光了，因此就写了个小代码来模拟一下如果玩这个游戏，会是什么结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
P = 100 # Number of players
N = 30000 # Total times played for one player
win = 1.2
lose = 0.83
Num_of_winner = 0
Money_of_the_luckiest_winner = 0.0
 
for j in range(P):
    m = np.zeros(N)
    m[0] = 10000.0
    for i in range(1,N):
        if np.random.randint(2):
            m[i] = m[i-1]*win
        else:
            m[i] = m[i-1]*lose
 
    if m[-1]>m[0]:
        Num_of_winner += 1
    if m[-1]>Money_of_the_luckiest_winner:
        Money_of_the_luckiest_winner = m[-1]
    plt.plot(m)
 
 
print(Num_of_winner)
print(Money_of_the_luckiest_winner)
plt.xlabel('Times played')
plt.ylabel('Money')
plt.show()

在上面这段代码中，我模拟了100个玩家，每人玩30000次这个游戏，看看他们最后的资产有多少。

结果很有意思：其中绝大多数玩家的资产都可算是归零了！

最后print出来的 Num_of_winner 是资产大于本金的人，因为有随机性，所以每次运行结果肯定不同，但大多时候都是100人中有2~3人最终赢钱了而已。

更有意思的是，最后print出来的100人里面最后资产最多的人最后到底有多少资产 Money_of_the_luckiest_winner，经常是8位数9位数的资产（本金是1万）！这绝对是个赢者通吃的游戏。

下面贴一下其中一次模拟的图，大家可以看看：

过程中纵坐标最高都到了10^13这个量级了，但最后的时候肯定没这么多。放大一下最后的结果，是这样的：

一个玩家遥遥领先，远远甩开了后面的其他所有玩家。

把最后的那一块继续放大，在排除掉了前4名之后总算纵坐标不需要用科学计数法了😂，剩下的玩家的资产都集中在0那里：

画一张纵坐标是对数坐标的图的话，可以更直观的看到大多数玩家资产向下的趋势（和上面几张不是同一个run）：

总结一下模拟的结果：绝大多数玩家玩到最后都归零了，只有极少数玩家能够赢得超过本金的钱，而赢得最多的那个人的最终资产远远超过其他人很多很多。

其实也不会有赌场提供这个游戏的，因为最一开始的第一种分析方式的确是没错的，玩家期望的确为正，赌场会赔钱。但第二种分析方式仍然有价值：只有1个人基本赢走了所有钱，剩下的人都归零了。

虽然没有赌场提供这个游戏，但是现实生活中，有一个地方跟这个小游戏太像了：股市！股市不是零和博弈，整体而言长期来看股市肯定是往上涨的，因为人类的生产力在提升。你买大盘指数基金buy&hold的话，期望肯定是正的。然而，股市每天都在涨涨跌跌，无数的人在里面频繁交易，最后血本无归。当然也有人最后成了大赢家，然而你能保证你是那个幸运的0.001%吗？

//知乎网友Richard Xu为本文中的小数学游戏提供了解析的分析，感兴趣的朋友们可以读一下：《“有趣的数学小游戏”背后的数学原理》。

//在写完这篇文章后，经过讨论又学到了有意思的东西，详见《用凯利判据玩转前文中的“一个有趣的小数学游戏”》。