一个与直觉相悖的概率问题及其引发的严肃思考
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细推物理须行乐 何用浮名绊此身
一人用颤抖的双手拿着艾滋病检测呈阳性的化验单去找医生：
“医生，弱弱的问一句，这个检测呈阳性是什么意思啊？”
医生：“同志，做好心理准备，你很有可能要悲剧了…目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。我们采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。根据这些数据，你差不多可以估计出来自己的囧况了…”
那人：“我X，哥悲剧了…”
OK虚拟的情境到此打住，我现在要问一个问题，请先不要计算，先尝试着用直觉给出一个答案：如果你就是这位哥，在艾滋病检检测呈阳性的条件下，你真的得了艾滋病的概率是多大呢？
请从下面ABC三个选项中选出与你的直觉最接近的：A.90%; B.50%; C.10%。
/**************我是计算部分的分割线********************/
好了，下面我们开始计算这个概率，如果对概率论完全一窍不通可以参看任何一个概率课本的贝叶斯公式部分。
我们定义事件A为“被检测人带有艾滋病病毒”，则$$\bar A$$表示被检测人不携带艾滋病病毒；
定义事件T为“试验结果呈阳性”。
我们要求的是概率 P(A|T)。由贝叶斯公式可知
$$P(A|T)=\frac{P(A)P(T|A)}{P(A)P(T|A)+P(\bar A)P(T|\bar A)}$$
由定义及医生告诉我们的话可知，其中P(A)=0.001, P(T|A)=1-0.05=0.95, $$P(\bar A)=0.999$$, $$P(T|\bar A)=0.01$$。
因此代入数据可得，P(A|T)=0.087。。。！
/**************我是计算部分的分割线********************/
严谨的计算告诉我们，这个概率居然甚至连10%都不到，上面小问题的正确答案应该是C！一般来说正在上大学的学生回答这个问题应该正确率还稍微高一点，不过对于这个世界上不是对概率论很熟悉的大部分人来说，他们基本上没有选对的。我自己抽样调查了几个熟人，都选的A！在这个问题上，直觉和真实的事实发生了严重的冲突。
最关键的问题是，一开始的情景并不是完全虚构的，数据都是接近真实的！因此这就存在着一个严重的问题，绝大部分患者根本不能正确解读医生提供的一些数据。据《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文，甚至连大部分医生都不能根据这些数据给病人说出一个比较靠谱的解释，大部分医生都严重高估了患病的概率。在诊断过程中，医生往往不参考具体数据，而是更相信自己的直觉和判断；而患者往往对此没有任何怀疑，只是简单的听从医生的建议。
试想一下，一个没有艾滋病的人就因为一次阳性检测结果和对数据的误读，可能产生多严重的后果。他可能丢掉工作，可能产生严重的心理问题，可能被隔离和其他艾滋病病人一起居住，甚至可能因此轻生。
因为利益关系等某些原因，医生和制药方往往又容易故意把病情往重了说，这是这个社会目前大概无法避免的事情。这些人甚至不用假造数据，就仅仅用真实数据都可能让就医者产生严重的错觉，这真的是一场悲剧。
我不知道应该的出怎样的结论，总之对各种人（哪怕是权威人员）说出的话都要冷静理智的看待，并且好好学数学吧。另外，《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文里有更详尽的说明还举了好多别的例子，看看这篇文章绝对是有必要的。
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不会吧…让人大感意外啊..
agree
原来把1000个人1个病人 也算进去了
问题不在于多少个真的被检测成假，而是多少个假的被检测成真的。999人的1%可不是小数字，这么多阴的被检测成阳，这就是为什么阳的里面真正悲剧的很少。
确实是，导致最后阳性里面真正得病人数很少的关键就是假阳性其实人数很多
这也是为什么在对群众是否是敌特进行”人人过关”时, 会出现那么多冤假错案.
上面说得不清楚，我找到你计算错误的地方：你的P（A）用的是”所有人中艾滋“的概率，不是“去检测的人中艾滋“的概率。这两者是不同的。去检测的人中真正有的远远大于人群中有的，因为只有自己感觉可能中了的人才去检测。
你说的这个问题 对于艾滋病这样的检测可能是对的
可是我们大部分人还有常规体检，常规体检也会检测出很多疾病来，对于那些疾病也存在着同样的问题。
其实还是容易理解：当一种疾病的误诊率比发病率还高时，一个阳性结果自然更可能是误诊。
下学期才学概率的飘过…
胡说八道，那个人已经检测阳性了。那么他得AIDS的概率应该是：P(T|A)。
贝叶斯定理？
普查性的疾病分布律和临床性的疾病分布律不同造成了错觉，因为医院里的患病率远远多于外界，用那个1/1000去掺和临床数据是错的，这个计算偷换了概念
如果对全部地球人进行逐一检测，这个0.01绝对会降到很低，试着把里面的0.01改成0.001，这个结果就已经接近50%了
嗯 你说的这个还是很有道理的。
不知道那种普查性质的疾病会不会有本文里面的问题..没有实际数据不好说话…
朋友你这个例子举错了,我们学医学统计学用的不是你这个例子,别老是把什么医生都想坏去,如果你这么厉害的话你自己看自己的病算了.无论怎么说在目前的情况好医生的处境是相当的恶劣…再说回你这个艾滋的例子,我同意医生绝对是说错的,但是目前起码我呆过的医院没人会说这种忽悠人的话…
希望世界上有良知的好医生能更多一些吧..
是啊,所以我在医院实习实在呆不下去,因为我也承认,好的医生有但是的确少得可怜.不是他们不道德,更多的是这个社会制度.今天和一个主任聊聊天,他也就坦白讲,医院的每一步改革涉及太多人的利益,举步维艰.
他讲了件实事,有一样药很便宜资料糖尿病的效果很好,但是用着一段时间这药突然不再进货了,里面涉及到实在太多人的利益,一家制药公司投资100快才能在医院赚回2分钱.这最终损害了是谁的利益,病人啊.不是医院的医生黑,更多是这样的环境医生是最可怜的.保护他们的其实只有那小小的医疗事故保险,医生的职业是不能出错的,而人却是在失败中积累经验.
A和非A相加再加上没有检测的才等于T和非T及相加
所以没有检测的人应该对这个概率有影响吧?
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恩 又想了一下 误诊率和那个1/1000的比例似乎有关
这个计算应该还是对的吧?
加减乘除是没错，不过代入的概念错了，建议博主好好学习数学。
这个问题医学上很好解决，方法就是复验。
假设一次检查的错误率为0.1%那么两次检查的错误率就只有0.0001%。经过三到四次复验，错误率几乎为0。
非常典型的条件概率的问题，当做例题做过。
分析思路没错，答案没错。由于最后算P（A|T）的时候是分子和分母的一项是相同的，所以关键在于分母的第二项，即0.999*0.01，也就是楼上某位说的“把未患病者检测呈阳性”的概率~~
如果这只是个单纯的数学题目的话，答案是acceptable的，但是如果是一个实际问题，应该就难站住脚了，因为所有的数据都不是确定的（但本题结论的关键就在于数据），尤其是千分之一的AIDS率和0.01的假阳性比率估计是有误的吧（虽然我也不了解），总之个人认为……这道题目是帮助阐述条件概率的很好的小题，但是并不能非常完好的阐述医学问题~~>.<~~至于如何更好的解决医学上检验误差的问题，楼上N位讨论的很多了~
飘过……LZ大牛勿pia
贝叶斯公式，一般的概率论与数理统计书里都会有的一个基本公式。这个例题算出的时候还是蛮惊讶的，但是仔细想，应该说是两个样本的不对等造成了偏差。
我是搞生物竞赛的，概率论只是爱好吧。告诉你一个现状，很多学生科或医科的同学数学都不是很好，之前有一年竞赛的实验部分出了个需要计算六边形面积的题，居然难倒了大批人。
这是否也暗示着，我们也需要提高技术以增加诊断的准确率呢？不过所幸目前对于很多疾病的不止有一种检测方法，多种因素综合考虑，希望那位哥不用太悲剧了。
春节快到了，祝节日快乐，呵呵
俺承认俺的概率学得不好，和楼上的一个哥们一样，一开始被误导，把P(A|T)当成P(T|A)了。
用通俗的语言解释一下博主的结论：
如果100000人去做艾滋病检测，按照0.001的比例，其中有99900人身体无恙，100人真的得了艾滋。
按照0.01的假阳性概率，会有98901个人被正常排除，999个人虚惊一场。按照0.05的假阴性比例，会有5是假阴性，而95个人不幸中招。
得病 | 5 | 95
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没得 | 98901 | 999
—————————
| 阴性 | 阳性
与博主的结论相符。
以前看豪斯医生有一集给一个黑人总统候选人看病，检出HIV阳性，所有人灰心丧气，准备给病人准备后事。豪斯坚持给病人再做一次HIV测试，结果一举扭转形势。原先看得紧张刺激外加佩服得五体投地，现在看来被编剧骗了。
95/95+999=0.087
LZ算的没错，好像你把假阳假阴的概念弄反了……
范翔学长，这个问题在华东师范出版的一套小丛书中单樽教授的《期望与概率》中出现过了
作者忽略了一个问题每一千人中有一个艾滋病不代表每一千个被检测的人中只有一个有艾滋病
博主好，刚好看到一篇文献说类似的问题，《Genomic screening and genomic diagnostic testing——two very different kettles of fish》在筛查和诊断两种语境下，先验概率是不一样的，会导致用贝叶斯计算出来的P(A|T)不同