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Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

12
Jul

圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少?

贝特朗悖论圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少?

偶然间从庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)的《科学与假设》的概率演算这一章看到了这个命题,他最早由贝特朗提出,故又叫做贝特朗悖论。这一问题有三种解答,答案分别是1/2、1/3和1/4,我怎么也想不清楚到底哪一种是对的,其他的为什么错了,请路过的大牛们帮忙看一看。

解法一:由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

解法二:由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。

解法三:弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

这个问题的答案到底应该是多少呢?

顺便说一下,《科学与假设》里有一个观点我很认同,他觉得古典概型中概率的定义不严谨。定义:“若只有有限个不同的基本事件,且每个基本事件发生的可能性是均等的,则事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数。”可是,定义中出现的“可能性是均等的”如何判断?这是不是用概率来定义概率了?这样的定义不算循环定义么?

注:文中的三种解法及图片来自百度百科。…

9
Jun

棋盘覆盖问题

有一个经典问题:8*8的棋盘,去掉了左下角和右上角2个格子,请问能否用31块1*2的骨牌覆盖整个棋盘。这个问题的答案应该人人都知道吧,染色之后一目了然。

那么,有人要问了:如果去掉的是1红1白的格子各一个,结果是怎样的呢?比如下面的这个图:

你可以自己画几个图试一试。你能证明一定可以覆盖?还是可以给出反例呢?…

30
May

两个好玩的数学游戏

这两个数学游戏,为佘飞所发明,个人认为相当有意思,我们玩儿了好长时间了,作为无聊繁重的课业之余的休闲娱乐活动。

1. 两人轮流从1~20中写数字,谁写下的数字中有4个之和为40谁就是赢家。写数字的时候每一轮都是分别写好然后再同时亮出来,已经写过的数字以后不可以再重复写。如果出现某一轮两人写的数各自可以凑成和为40,则这一轮两人写下的数字被划掉,而且以后也不准再写这个数。如果某一轮两人写了同一个数字,其中甲可以用它凑出40,而乙不行,则甲的那个数就被划掉,而乙的则保留下来。如果某一轮两人写了9同一个数字而且都无法用其凑出40,则同时被保留。

下面是一次游戏作为例子:…

24
May

几道有意思的小数学题

1.“一切无理数的无理数次方一定是无理数”,试证明此命题或举出反例。

2.两人在1,2,3,……,9这九个数字中轮流取数,不准重复,谁先取到三数之和为15谁就赢了。问先走者有没有一个稳操胜券的策略?

3.汽油危机已经来临,大家都在叫油荒。分散在长长的环形公路各处的加油站所存的油量仅仅够你跑一圈而无点滴富余。请证明,如果你在一个合适的加油站开始启程,把空油箱加足了汽油,你有充分把握可以跑完一圈,不会中途抛锚。

请先仔细思考再看解答.

 …

5
Jan

拓扑学与克莱因瓶

前几天借了图书馆的一本《拓扑实验》闲着没事儿看,结果令我惊奇的是我周围的大牛们居然没有几个人听说过拓扑学。这么有意思的一个数学分支,不知道的话也太可惜了。

拓扑学是一门新兴的学科,大概是从20世纪开始正式被人们所研究的。它和以往人们所研究的几何不同,以前人们关注的东西是几何图形或几何体的角度、长度、面积、体积等,而拓扑学则研究的则是经过一系列扭曲、拉伸、压缩等操作仍然不变的性质。比如说,一个篮球可以被我拉成一个橄榄球,尽管形状变了,可能体积、表面积都变了,但是有一些重要性质是没有变化的:有两个面(内表面和外表面),封闭等。这些都是拓扑学的性质,这些都属于拓扑学的范畴。大家都很熟悉莫比乌斯带吧,它也是拓扑学的典型研究对象。

回到正题上。今天我想说的是拓扑学中的克莱因瓶。这是一种奇怪的瓶子,他有这么几个重要的性质:只有一个面,没有棱,没有顶点。这么个东西是很难凭空想象的,所以下面放了几张图可以供大家想象。…

31
Dec

一道难题巧解

这道题来自孙丕业在福州上的课。当时老师出了这道题,等了半个小时无人能给出完整的解答,大家都讨论的焦头烂额却也没什么结果。这时,老师开始讲题了,只一句话,大家就全明白了,接着全体鼓掌!当时孙丕业给我看这道题,我也想了半天没有任何思路,结果他又是一句话把我搞懂!
这道题是这样的。n为奇数,用n-3条不交叉的直线可以把正n边形分成n-2个三角形,求证:有且仅有一个三角形是锐角三角形。

请先认真思考再看下面的解答。…