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Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

14
Mar

3.14 Today Is Pi Day!

又是好久没有写什么东西了 哎 越是在家闲着就越懒 今天是传说中的白色情人节 不过这跟我没什么关系 今天还是Pi Day 那就说说Pi吧 顺便再熟练一下Tex

首先写一些有关的漂亮的表达式。第一个表达式是最常见的一个,也就是这个表达式曾经激起了我无尽的好奇心,引我走上了自学微积分的道路。其证明在这篇文章中有。

26
Feb

貌似违背理性人假设的一组选择

最近正在看《牛奶可乐经济学2》,有一个原理下面的例子挺神奇的,我想看看是不是像他说的那样,因此发起了这个投票。请大家略加思考以后如实作答,在AB里面选择一项,CD里面选择一项,EF里面选择一项,谢谢配合!对此次投票的解释我将过几天再写。

[poll=2]

Update on 2009.2.28:

21
Feb

庞加莱的几何学

最近在看庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)的《科学与假设》,这是一本闪耀着思想光辉的圣书。介绍科学知识的书很多很多,但是像《科学与假设》这种写科学哲学的书恐怕很难找得到。虽然这本书的语言非常艰涩难懂,但这本书我至少读过3遍,每一遍都能读出一些新的感悟。

在这本书里,庞加莱对几何学提出了几条思想很深刻的见解:

1.几何学公理既非综合判断,也非实验经验,他们是约定。约定是心智的产物,约定的选择是自由的,但又不是随意的。

2.假使自然界没有固体,便不会有几何学。欧几里德几何学的性质与天然固体非常符合。

3.欧几里德几何学不比非欧几何学更真,他只是更为方便而已。经验在任何时候都不会与欧几里德共设相矛盾,同样任何经验永远也不会和罗巴切夫斯基共设相矛盾。

4.可以建立一本词典,把非欧几何的术语和欧几里德几何的术语之间建立一一对应的关系,这样非欧几何将永远不会和欧几里德几何相矛盾。

5.实验告诉我们的是物体之间的相互关系;至于物体与空间的关系,或者空间个部分的互相关系,没有一个实验影响或者能够影响。实验与空间无关,而与物体有关。

为了对非欧几何加以诠释,庞加莱在这本书里提到了著名的庞加莱圆盘模型,这个模型是非常有意思的:

庞加莱圆盘模型

14
Sep

我发现的幻方小性质

正在看马丁•加德纳的书,忽然间想到了幻方,摆弄了一下居然发现了一个我以前没有看到过的性质,写下来和大家分享一下。

最著名的三阶幻方长这个模样:

3 5 7
8 1 6

现在用小键盘输入这9个数,顺序按照492357816这样。在小键盘的对应位置上写上每一个数字是第几个输入的,比如4是第1个输入的,就在小键盘4的位置写下1,9是第二个,在9的位置上应该写上2……这样一来小键盘上就写出了如下阵列:

1 5 9
8 3 4

这居然还是一个幻方,其实就是把上面那种幻方翻转了一下。

我又验证了一种四阶幻方,原幻方如下:

1 15 14 
12 6 7 9
8 10  11  15 
13 3 2 16

然后想象有一个4×4的小键盘,上面有1~16,现在同样把小键盘的对应位置上写上每一个数是第几个输入的,仍然得到一个幻方:…

22
Aug

埃舍尔的数学艺术

20世纪的伟大艺术家埃舍尔(Escher)是个与众不同的画家,是个和我差不多的数学Geek。他的所有艺术品都不是通常的画作,而是充满数学气息或者是现实中不可能的视觉错觉作品。在所有艺术家中,我最欣赏的就是埃舍尔,甚至甚于达芬奇。虽然埃舍尔的作品初期被当作异类来排斥,但是随着岁月流逝,越来越多的人狂热的喜爱起了他的作品,尤其是对数学有癖好的人。这篇文章将带着大家看看埃舍尔是如何将数学与艺术完美结合。

给大家展示的第一幅画叫《天使与魔鬼》,是我见过的最强的艺术品。这不是一个普通的圆,而是一个非欧几何空间,最早是由庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)提出了这个模型(参看我的这篇文章)。而填充整个非欧几何空间的,居然是有着强烈反差的白色天使和黑色魔鬼,真是绝了!
埃舍尔 escher 视觉 错觉 艺术 数学 非欧几何 庞加莱

12
Jul

圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少?

贝特朗悖论圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少?

偶然间从庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)的《科学与假设》的概率演算这一章看到了这个命题,他最早由贝特朗提出,故又叫做贝特朗悖论。这一问题有三种解答,答案分别是1/2、1/3和1/4,我怎么也想不清楚到底哪一种是对的,其他的为什么错了,请路过的大牛们帮忙看一看。

解法一:由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

解法二:由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。

解法三:弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

这个问题的答案到底应该是多少呢?

顺便说一下,《科学与假设》里有一个观点我很认同,他觉得古典概型中概率的定义不严谨。定义:“若只有有限个不同的基本事件,且每个基本事件发生的可能性是均等的,则事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数。”可是,定义中出现的“可能性是均等的”如何判断?这是不是用概率来定义概率了?这样的定义不算循环定义么?

注:文中的三种解法及图片来自百度百科。…