Skip to content

Posts tagged ‘证明’

14
Aug

盘点数学里十大不需要语言的证明

0. 勾股定理&余弦定理

这个大家小学就学过的古老定理,有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思(Elisha Scott Loomis)在 《毕达哥拉斯命题》( Pythagorean Proposition)提到这个定理的证明方式居然有367种之多,实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。


实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况,而余弦定理的证明,同样可以不用语言。

1. 关于反正切的恒等式

Read moreRead more

27
Apr

代数基本定理的一个最简单证明

//看懂本文需要且仅需要关于复数的基本概念。

代数基本定理,是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。从代数基本定理可以很显然的推论出我们可能在初中就已经熟悉的一个结论:一元n次方程必有n个根。虽然大家都已经对这个定理感到习以为常,但是其实它并不是显然的,因为如果只考虑实数,一元n次方程就不一定有根。当把研究对象拓展到复数时,一下子所有代数方程就有解了,这其实是一件很不显然的美妙结论。

关于代数基本定理,有很多很多种证明方法。貌似第一个证明是牛逼哄哄的高斯在博士论文中给出的...基本所有的证明方法都或多或少的用到了一些比较高等的数学,对于只有高中数学知识的人来说很难看懂。即使是《什么是数学》里给出的证明,也用到了一个并不是那么好理解的“卷绕数”的概念。但是,下面要给出的证明,只需要有关于复数的基本概念就可以理解,只要几句话就证明完毕了!此证明由北大数院的范后宏老师在“古今数学思想”课上提供。

代数基本定理证明:

w(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_0

于是我们想要证明的结论就是:一定能找到某个z,使得w(z)=0。

我们先把z写成z=re^{i\theta}的形式。

首先,我们考虑r=0的情况。这时w(0)将是复平面上的一个点,并且这个点就是a0,且a0不等于0。(如果a0等于0那z=0就是原方程的解了,定理直接得证。)

然后,我们再考虑0<r<∞的情况。对于一个固定的r,如果这时我们让θ从0到2π连续变化,那么对应着w(z)将会在复平面上画出一条封闭的曲线,如下图。这个曲线可能是很扭曲的形状,也不一定是绕了一圈的,可能绕了很多圈。比如w(z)=z^2,当z的辐角从0到2π连续变化时,w(z)将在复平面上绕着一个圆转两圈。在这里我们并不关心这条曲线的具体形状。

最后,我们再考虑r->∞的情况。此时当z的辐角从2π连续变化时,显然w(∞)的所有值都将是无穷大(因为此时只有z的最高阶项是起作用的,而它前面的系数是1),对应着就是w(∞)将在复平面上的无穷远处画出一条封闭曲线,见下图。 Read moreRead more

17
Jan

复数方法巧解平面几何题

快放假了才买到《复分析——可视化方法》这本书,相见恨晚啊,这本神书,如果我能早点读,这学期的复变函数估计就学的不会这么吃力了。。。在这本书开头的地方有一个用复数方法解决平面几何问题的例子,我一看便惊了:这正是我初中时候见到的一道印象极其深刻的平面几何题,曾为它绞尽脑汁也没有想出做法呢,然而这本书就用复数的方法巧妙而自然给解决了~ 贴出来共享一下。

题是这样的:证明,在任意四边形的四条边上各做一个正方形,那么连接相对的正方形中心的线段互相垂直并且等长。示意图如下。

geometry

Read moreRead more

12
Nov

上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?

小时候看《时间简史》,对里面一副插图里的话印象很深:“上帝能造出他自己都搬不动的石头吗?”,从此我便把它作为上帝不是万能的这一命题的证明。因为,如果你回答“能”的话,那么上帝就连某块石头都搬不动;而如果你回答“不能”的话,那么上帝就连一块满足某条性质的石头都造不出来,他也不是万能的。

但是,其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。

这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上,对于定义有一条不起眼的要求,那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数,从理论上来说我得证明这种数是存在的,我们可以举个例子来证明其存在性,比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符,我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊...我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然(举个例子就可以了),因此在课本里从来不出现,但是这绝不意味着存在性证明没有用,尤其在抠逻辑漏洞的时候。

比如说吧,我要定义一种数叫做“蛋疼数”,他被定义为“大于2的偶质数”,显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论,看上去完美无缺而且非常漂亮,可是回过头来一看,哎呀,蛋疼数居然不存在,那整个理论体系的根基就倒塌了。

再比如说,我要定义一种数叫做“牛逼数”,他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”,很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数...这样,牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例,这可实在不是一件很显然的事情...

好了,回到上帝是不是万能的问题上来。 Read moreRead more

31
Oct

神秘的本福特定律

统计一下世界上237个国家的人口数量,你觉得其中以1开头的数会占多大比例,而以9开头的数又占多大比例呢?如果你的回答是都为1/9,恭喜你你是正常人,但是事实却不是如此:以1开头的数惊人的占到了27%,而以9开头的数却只占5%。下图可以很形象的展示出在各国人口数量问题上,以各个数字开头的数占了多大的比例(图片来自维基百科)。为什么会相差这么大呢?这正是神秘的本福特定律在起作用。

本福特定律,也称为本福德法则,说明一堆从实际生活得出的数据中,以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成,接近期望值1/9的3倍,推广来说,越大的数字,以它为首几位的数出现的机率就越低;精确地数学表述为:在b进位制中,以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。

在十进制中,首位数字出现的概率为:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6%

Read moreRead more

7
Apr

椅子的稳定性问题

4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳?

这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过,当时觉得这问题太诡异了,怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手,看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的,一定可以找到一个位置使得椅子放稳!

题目的条件先解释一下,4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复,确实题目里有隐含条件需要明确地写出来:(1)椅子是正方形的...(2)四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长...(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳(即认为地面的摩擦系数无穷大)...(4)起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。

Read moreRead more