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June 11, 2007

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物理学中的近似——关于无穷小量的计算(基础但很重要)

作者: physixfan

突然发现好长时间没写物理方面的东西了,今天就写写基础的东西吧。关于无穷小量的计算,不知高考考不考,反正竞赛中时极为重要的。这些东西很简单,真得简单得不得了,可是我却是在不断跌打碰壁中自己摸索出来的,走了大段弯路,现在总结出来供大家分享吧。

首先要明确的是,两个无穷小量相除,不等同于0除以0而没有意义,相反,在大量计算中会出现类似的情况,他的结果通常是一个不是无穷大的数。例如,在匀速直线运动中,取一段极小的时间t,Δt→0。在这段时间内位移是Δx,而Δx/Δt=v就是其速度,有着实实在在的意义,有着具体的数值。

有一个重要规则叫做略去高阶无穷小。如果一个项是两个或两个以上的无穷小的乘积,那么这个项相对于其中一个无穷小就是高阶的。例如,Δx2就是比Δx更高阶的无穷小。在一个没有分母的和的形式的多项式中,我们可以略去其中最高阶的无穷小,而不能把全部无穷小给略去,否则就会出现错误。例如,(x+2Δx)2=x2+4xΔx+4(Δx)2= x2+4xΔx。

再讲讲一些近似处理。在物理计算中,如果遇到了sinθ而θ又趋近于0,那么有如下等式成立:sinθ=tanθ=θ(θ要用弧度表示)。这个式子的精确度是很高的,可以验证一下:sin1°=0.017452406;tan1°=0.017455064;1°=0.017453292。1°精确到小数点后5位都是正确的,况且θ→0。而且物理本身就存在大量近似,连最最精确的量子电动力学都仅仅能保证6位数字的正确性,所以这个等式可以放心应用。在一些计算中,如果出现了两个或两个以上的类似无穷小量,就不能直接令他们等于0来处理,否则误差会很大,必须经过一些类似sinθ=tanθ=θ的变换消掉无穷小量才行。例如,(s*sinθ+s*tanθ)/(r*θ)其中θ→0,这个式子,可以经过近似变换得到结果:2s/R。

在处理一些几何关系时,对无穷小量也需要特别关注。例如在用微元法解题的过程中,如果一个直角三角形的一个角是无穷小的,那么可以认为这个角的临边和斜边长度相等;如果一段弧的圆心角是无穷小量,那么可以认为这段弧和其所对的弦长度相等。这是些很实用的技巧,竞赛题特别是运动学中很常见。要注意,必须是直角三角形才能使用此结论,如果是一般三角形,必须先做一个垂直才能用类似的结论。

都是些很简单的东西,希望对大家给大家带来些收获!

2 Comments Post a comment
  1. 天山新怪
    Aug 21 2008

    微积分!

    Reply
  2. hxl268
    Dec 9 2009

    一、极限论极难学的真因:常人拒绝思想混乱的理论
    黄小宁(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    “数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的,而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。” 有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数,建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的,须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年糊涂话。最关键要弄清j式
    0<ρ=1/n<任意给定的正数ε
    中的ε是在哪一范围内任意给定的数?能否在所有正数中任意给定?不能说清此一不通则百不通的最关键问题,就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然,应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中有正数项1/n<ε,明白:
    j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε,“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变量,然而极限论又说无正数<ε:“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数<ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念,即所谓≠0却0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”,但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量,数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊!②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句!
    [4]文第1节:“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’,然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数<ε,这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。”
       参考文献
     [1]M?克莱因著、李宏魁译,数学:确定性的丧失[M],长沙:湖南科技出版社,1999.4:323。
    [2]黄小宁,再论极限论总难学难教的真正原因:有自相矛盾的百年糊涂话[J],科技信息,2008(1):29。
      [3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组,常微分方程与无穷级数[M],北京:人民教育出版社,1978。
      [4][5][6]黄小宁,50字纠正五千年重大错误:任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”:无最大自然数[J],科技信息(学术版),2008(21);极显然:自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误:将两异集误为同一集[J],科技信息,2009(26);百年集论使人犯极荒唐常识错误:0-1010=0——再论形如{1,2,3,…,n,…}一般都有末项[J],科技信息,2009(1)。
      [7][8][9]黄小宁,百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J],科学中国人,2009(4);驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J],今日科苑,2009(16):267;再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J],教育前沿,2007(12):110。
      [10][11]黄小宁,极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误;极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾;见:中国教育创新教师论坛[C],北京:人民日报出版社,2003.9:367—369。
      [12]黄小宁,教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0,见:中国学校教育研究?数学?计算机卷[C],北京:中国民主法制出版社,2004.3:8。
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