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Recent Articles

14
Apr

好久没在这里发文了...

作者: physixfan

不知不觉的,在这里已经有一年没有发文了。

这一年来,忙并快乐着。

本来自己搞着玩玩的信用卡博客,一年前最初的时候域名还是 physixfan.com/makemoney 来着,而现在“美国信用卡指南”已经是中文美国信用卡界最大的博客了,成员已经有十几位,都是个中高手,网站的 alexa 排名也基本上稳定在了世界第5万多。看到不少读者都从撸卡中获得了实实在在的收益和旁人大概难以理解的乐趣,我感到非常高兴。

学术方面,做了一年多的课题终于写成了 paper,已经投出去了。文章还在审稿阶段,不过我已经把它挂在arxiv 上了:https://arxiv.org/abs/1604.01823。如果能够顺利发表,这将是我人生中第一篇 paper!

前几天我还发起了一个新的网站,蚍蜉种树,旨在为弱势群体发声。我十分清楚,这是一件非常困难的事情,希望它能够像我的信用卡博客一样顺利,希望我们这个团队能够给社会带来一点点改观。

如果以后还有时间的话,还是希望也再在这里写写科普什么的。不过谁知道呢,希望我能够有精力把每件事都做好吧!

4
Mar

如何计算湍流能谱

作者: physixfan

最近在如何数值上计算湍流能谱(turbulent energy spectrum)上面卡了好几天,现在终于问到了做过的人看了相应的书明白了正确的算法。写出来以供自己留个记录以及给搜索引擎喂食吧。

问题定义:现在已知速度场\mathbf{u}(\mathbf{x}),求能谱E_k(k)。(我研究的问题是2D的,所以以下都按照2D来写了,推广到3D也是非常容易的事情。)

能谱的含义是动能在k空间上的分布函数,其对k进行积分之后将得到总的动能。其定义为:

E_k(k)=\int\frac{1}{2}\Phi_{ii}(\mathbf{k})\delta(|\mathbf{k}|-k)d\mathbf{k}

其中\Phi_{ii}=Tr(\Phi_{ij})(其中ij取12,如果是3D情况则ij取123)

其中\Phi_{ij}为关联函数(correlation function)的傅里叶变换:

\Phi_{ij}(\mathbf{k})=F\{R_{ij}(\mathbf{r})\}

其中F\{.\}是傅里叶变换的记号,而R_{ij}为关联函数:

R_{ij}(\mathbf{r})=\langle u_i(\mathbf{x})u_j(\mathbf{x}+\mathbf{r})\rangle

其中\langle . \rangle表示对位置\mathbf{x}的平均。

至此,根据定义,理论上如何用速度场\mathbf{u}(\mathbf{x})求能谱E_k(k)已经非常清楚了。但是问题是,根据这个定义进行数值计算的话,2D情况下单单是计算R_{ij}(\mathbf{r})的时间复杂度就已经是O(n^4)了!这是因为R_{ij}(\mathbf{r})本来就是一个二维的场量,而计算其中每个分量又需要对整个\mathbf{x}做平均。如果是1024*1024的格点,这个时间复杂度是无论如何也算不出来了。。。

正确的算法是这样的:

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16
Jan

曲率辨析

作者: physixfan

今天才意识到,学物理的人说二维曲面的曲率(curvature)的时候,其实有两种不同的定义... 一种是微分几何里那种定义(Gaussian Curvature);另一种只是简单的定义为曲面函数的拉普拉斯算符(Laplacian)... 而且貌似很多人在说起曲率的时候理所当然的都觉得大家都用的自己的那种定义,而不知道有另外一种定义存在,于是造成了我对这个概念一直以来就有点混乱,现在终于清楚了... 这篇文章稍微详细的辨析一下这两种曲率的定义。

首先我们假定研究的是二维曲面 f(x,y),然后假定曲面上的两个 Principal Curvature\kappa_1\kappa_2

(1)曲率的第一种定义 Gaussian Curvature 为 K_G=\kappa_1*\kappa_2。这种定义是微分几何中会见到的定义,这种曲率是 intrinsic 的,是那个跟三角形内角和的大小直接联系的曲面曲率,见 Gauss-Bonnet Theorem

(2)曲率的第二种定义 Extrinsic Curvature 为 K_E=\kappa_1+\kappa_2。还有一种与之相关的名称是 Mean Curvature,K_M=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)=\frac12 K_E,这二者只相差一个无关紧要的系数。Extrinsic Curvature 有这样一个性质:在曲面的梯度很小这一近似下,Extrinsic Curvature 与 曲面函数的 Laplacian 是相等的,这类似于一维曲线的曲率与二阶导数相等,具体讲解可见这个讲义。物理里经常会见到有人把拉普拉斯算符直观地解释做曲率,需要注意的就是这里其实指的是 Extrinsic Curvature 而不是 Gaussian Curvature。

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8
Jan

“钢铁侠”真能造出来吗?

作者: physixfan

不靠天赋异禀的超能力,不靠飞来横祸的基因突变,钢铁侠Tony Stark仅凭科技的力量:一身炫酷的机甲就拯救了世界,赢得了无数粉丝。钢铁侠的一身机甲究竟距离现实有多远?其实,防御、武器系统是很常规的事情不必多说;智能对话系统Javis也已经有了现实版:Siri和Google Now;飞行推进系统也有现实中的对应版本:离子推力器;而唯有最核心最重要的能源系统,方舟反应堆(Arc Reactor),现实中从未有人真正实现过。方舟反应堆究竟是何物?现实中的人类距离实现有多遥远?

钢铁侠的方舟反应堆,不需要补充煤炭汽油等燃料,不需要放射性重金属也不需要光照,而且提供的能量密度高得惊人,这样的能源在世界上有且仅有一种:受控核聚变。聚变的原材料是氘和氚,如果技术发展的足够好那么只用氘也可以,而氘在自然界中极其丰富:水中就有足够的氘!因此我们可以推测,钢铁侠利用身体中的水作为原料,用小型离心机分离出氘,然后供给方舟反应堆用来聚变以获得能源的。

方舟反应堆的具体实现方式是什么呢?我们先看两张图:

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图1

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图2(来自 https://www.euro-fusion.org/2011/09/tokamak-principle-2

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7
Jan

如何学会打水漂?

作者: physixfan

//本文是我在知乎上的回答《如何学会打水漂》,后来很荣幸被推荐到了知乎日报《在强大的科学研究指导下,学会打水漂》。

一篇2004年的 Nature 文章[1]里介绍了打水漂的秘诀:神秘角度20°。这篇文章通过系统的实验发现,无论自旋角速度、抛射速度如何,石头与水面的攻角在20°时,石头与水面的接触时间都最少,而该接触时间决定了能量损耗的大小,接触时间越短能量损耗越少,因此20°角是打水漂的关键。注意这里攻角的定义是石头圆盘那个面与水面的夹角,不是入射速度方向与水面的夹角(此角度在15°~40°之间都对结果影响很小)。

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后来一篇2005年的 PRL 文章[2]通过数值模拟重复出了同样的结论,并且给了理论解释。上图出自[2]。

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7
Jan

湍流 Spectrum 与 Cascade 的理解

作者: physixfan

//本文是我在知乎上的回答《学物理过程中,你有哪些问题是当时理解的比较肤浅,后来突然豁然开朗了?》。

近期在研究湍流有关的东西,就说说对湍流 spectrum 和 cascade 的理解吧。

最初接触湍流的 spectrum 和 cascade 是著名的 K41 Theory (Kolmogorov 1941 Theory) 。针对三维流体,通过假设湍流在小尺度上各向同性,再假设存在一个不是k的函数的常数 energy dissipation rate \varepsilon(意为单位时间内耗散掉的能量),那么我们可以一定的空间尺度范围内得到三维流体的 energy spectrum:

E_k=C\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}

其中k是波数;E_k 是 energy spectrum,它是能量的傅里叶变换,它与能量的量纲关系为 [E]=[E_k]*[k](需要注意的是,流体里说的所谓能量其实是通常含义下的能量密度除以质量密度,即 E\sim\mathbf{v}^2,v为速度);C是一个 universal 的无量纲常数。Energy spectrum 的图像如下图(双对数坐标):

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斜率 -5/3 是 K41 理论的著名结论,已经被无数数值模拟所验证。得到这个 -5/3 的方法其实异常简单:因为假设了一个不是k的函数的常数 energy dissipation rate \varepsilon,那么对体系所涉及到的物理量直接进行量纲分析就能得到它。

湍流的能量会形成一个 energy cascade。如果能量从大尺度(小k)注入,比如拿着棍子搅一缸水,那么能量会沿着那个 -5/3 的直线从大尺度(小k)往小尺度(大k)流动,大漩涡破碎成小漩涡,小漩涡破碎成更小的漩涡,最后动能在一个很小的尺度上被耗散掉,动能转换为内能,卡通图如下:

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著名的斜率 -5/3 可以直接通过量纲分析得到,而且能量尺度越来越小的 cascade 非常直观也非常自然,当时我学到这里就觉得挺满意的觉得已经理解了这些现象了。而且通常的流体力学、湍流教材对这个话题也就只介绍这些内容了。
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