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哥德尔定理

哥德尔定理是数理逻辑中的一个定理，1931年奥地利逻辑、数学家克尔特.哥德尔(Kurt Godel)发现并证明的，这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。为理解这个定理及其意义，需要相当的数理逻辑和集合论知识。要把这些预备知识都在这里整理出来，工作太繁重了，这也就是我一直没敢动手写这篇东西的原因之一。这里仍然也不打算详细介绍这些东西，只是在必要的时候给些简单的说明，要想更深刻地理解，有兴趣的朋友可以自学相关课程。

哥德尔定理其实是两个定理，其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的，从这一定理的版本众多就可以看出。如：
“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。”
“任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。”
“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”

第二不完备性定理是第一定理的一个推论：“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”

如果没有相关的知识基础，要理解这个定理真的是比较难。至于证明就更不容易看懂了。我偷点懒，跳过这些直接介绍其意义吧。…

奇妙的证明：周长相等的所有平面图形中，圆的面积最大

我首先要证明，面积最大的图形满足一个性质：一条平分周长的直线（暂且把它叫做周长平分线），一定也平分面积。因为，如果不平分面积的话，那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去，使得周长不变，而面积增大（如左图，红色曲线围成的面积大于蓝色曲线）。好了，接下来，我要再证明面积最大的图形满足第二条性质：周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形，必然是直角三角形。因为，如果它不是直角三角形，我可以把他拉伸或压缩一下，使它成为直角三角形，这样新三角形的面积大于原三角形的面积（证明省略，主要使用S=absinθ/2），而图形其他部分面积不变，这样面积就扩大了。因此，面积最大的图形满足上述两条性质，我们就不难推出它是圆了。
…

圈套

最近佘飞告诉了我一个赌博的方法，乍一听真得挺管用，当时就在我们班掀起了一个热潮。

其方法大致是这样的：完诸如赌大小的几率对等的游戏时，假设你的本金足够大。第一次先压$1，如果输了，下次再压$2，如果这次又输了，下次压$4，如果还输，下次就压$8……一旦你赢了一次，先前所有的损失就全赢回来了，还赚$1，这时你再从$1压起。如此下来，你只要不连续输十几次，你就永远不会血本无归，总是一直一美元一美元的赚，赚到你满足为止。如果你连续输个十几次，那只能怨你运气实在太差了。
这么一听，还真有道理，如果真这么去赌，那不是只赚不赔么？

我有点怀疑，但不敢确定，于是第二天用电脑编了个程序来验证。源代码我懒得在敲一遍了，反正很简单，就是按这个方法模拟，用个随机函数来验证就行了。

结果出乎意料，当本金是$10000时，电脑刚运行了几十秒钟就显示本钱花光了。我又试了几次，结果还是如此。我又改了$100000，结果运行了几分钟都花光了本钱。难道这个方法行不通么？

后来，佘飞道出了其中的破绽。…