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Recent Articles

12
Jan

宇宙中神秘的大数

作者: physixfan

物理学中有很多常数,有一些是带有量纲的,比如光速c,万有引力常数G,电子的电荷量e……还有一部分则是无量纲的常数,比如精细结构常数α(α=e2/(2*ε0*h*c≈1/137。关于其更详细的解释,请看这里)。我们感兴趣的是后者,因为后者的数量是不随单位的任意选取而变化的。比如说我们把米定义为现在的米的1000倍,那么光速c的大小就变了,他在数值上就成了原来的1/1000;但是无量纲的数,比如精细结构常数α,他的数值大小并不会因此而变化。可以说,无量纲的常数实际上是宇宙的某种性质。

关于几个无量纲的常数,存在着某种神秘的关系。
万有引力耦合常数是c1=G*mp2/c=5*10-39
质子和电子间的静电力与万有引力之比是 c2=(e2)/(G*mp*me)=2*1039
宇宙的年龄除以光穿过一个经典电子需要的时间是 c3=(me*c3)/(e2*H)=7*1039
宇宙的总质量除以质子的质量是 c4

5
Jan

拓扑学与克莱因瓶

作者: physixfan

前几天借了图书馆的一本《拓扑实验》闲着没事儿看,结果令我惊奇的是我周围的大牛们居然没有几个人听说过拓扑学。这么有意思的一个数学分支,不知道的话也太可惜了。

拓扑学是一门新兴的学科,大概是从20世纪开始正式被人们所研究的。它和以往人们所研究的几何不同,以前人们关注的东西是几何图形或几何体的角度、长度、面积、体积等,而拓扑学则研究的则是经过一系列扭曲、拉伸、压缩等操作仍然不变的性质。比如说,一个篮球可以被我拉成一个橄榄球,尽管形状变了,可能体积、表面积都变了,但是有一些重要性质是没有变化的:有两个面(内表面和外表面),封闭等。这些都是拓扑学的性质,这些都属于拓扑学的范畴。大家都很熟悉莫比乌斯带吧,它也是拓扑学的典型研究对象。

回到正题上。今天我想说的是拓扑学中的克莱因瓶。这是一种奇怪的瓶子,他有这么几个重要的性质:只有一个面,没有棱,没有顶点。这么个东西是很难凭空想象的,所以下面放了几张图可以供大家想象。…

31
Dec

一道难题巧解

作者: physixfan

这道题来自孙丕业在福州上的课。当时老师出了这道题,等了半个小时无人能给出完整的解答,大家都讨论的焦头烂额却也没什么结果。这时,老师开始讲题了,只一句话,大家就全明白了,接着全体鼓掌!当时孙丕业给我看这道题,我也想了半天没有任何思路,结果他又是一句话把我搞懂!
这道题是这样的。n为奇数,用n-3条不交叉的直线可以把正n边形分成n-2个三角形,求证:有且仅有一个三角形是锐角三角形。

请先认真思考再看下面的解答。…

31
Dec

一个关于级数的疑问

作者: physixfan

大家应该很熟悉ln2的级数展开吧:
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+……①
把①两边每一项乘以1/2得到:
1/2*ln2= 1/2 -1/4 +1/6 -1/8+……②
上面②的数字间距比较大仅仅是为了与①的相关数字对齐。把①②相加,按照纵列结合各项,于是我们得到
3/2*ln2=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+……③
我们惊奇地发现,③的右边仅仅通过顺序的变换就可以得到①的右边,但左边却确确实实的不相等!难道无穷级数不支持交换顺序的运算?
有的人马上举出1-1+1-1+1-1+……这个著名发散级数跟我说无穷级数肯定不能交换顺序,可是一定要明确①和③两边是收敛的阿!收敛就决定了这不是个太小儿科的问题。
到底是从①变到③的某个过程不被允许,还是连收敛级数也真的不能交换顺序?我期待有谁能给我个令我信服的答案。

update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了,感谢网友们的帮助!…

29
Dec

有趣的堵火车悖论

作者: physixfan

当年爱因斯坦(Albert Einstein)提出令人费解的狭义相对论之后,有很多人提出了各种各样的悖论,例如孪生子悖论,在例如今天我要说的堵火车悖论(这个名字是我自己叫的,不知道其他人叫它什么)。这个问题是这个样子的:

未来的某一天,科技高度发达,火车行进速度飞快,足以产生明显的相对论效应,人们也都精通相对论知识。一天,两个盗贼得知有一列载满富翁的火车将通过他们的地盘:一个中间有隧道的山坡,火车将从隧道穿过。已知隧道的长度恰好和火车静止时的长度相等。两个盗贼这样盘算:根据动尺缩短效应,我以我自己为参考系,火车将相对于我高度运动,长度将变短,因此我们可以两个人分别站在隧道的一段,等到火车车身完全在隧道内的时候,两人同时用一块石头堵住隧道两端,把火车封在里面,这样就可以下去抢财物了。富翁们不知从那里得知了倒贼要行动的消息,哈哈大笑,想到:他们不可能成功,根据动尺缩短效应,我以我在的火车为参考系,是山和隧道在高速运动,缩短的应该是隧道,因此我们的火车不可能在某个时刻完全处于隧道内而被封在里面。看来,他们两方说的都有道理,那么问题是:火车究竟能不能被封在隧道内呢?…

8
Dec

机械能守恒需要特殊参考系么?

作者: physixfan

一个从静止(相对于地面静止,将地面称作S系)开始自由落体的物体满足机械能守恒这是大家闭着眼睛都知道的事情,可是一天我突然想到了一个问题。如果我们换一个参考系,假如说我乘坐着一个电梯,以10m/s的速度(相对于大地)匀速下降,以我为参考系(称作S’系)来看前面这个自由落体的物体,机械能还守恒么?考虑到1秒的时候,物体相对于地面的速度也恰好是10m/s,我们不妨以0到1秒这段时间的状态来研究。一开始0秒的时候,物体相对我(S’系)有10m/s的向上的速度,势能是mgh。在1s钟这个时刻,相对于S’系物体静止了,即动能为零,而高度减小了,即势能也减小了,这样看来机械能不就不守恒了?!

这可能么?一个物理过程,以地球为参考系,机械能就守恒,而换一个相对它匀速运动的新参考系,机械能却不守恒了?强烈的物理思想告诉我,宇宙中不存在特殊参考系,能量守恒在任一惯性系中都一定是成立的。既然地球近似的看成惯性系机械能守恒了,那S’系没有任何理由违反机械能守恒!

问题出在哪里呢?对这个问题,我苦苦思索了两天,终于在一天睡觉的时候悟出来了。原来,问题就出在地球这个“近似”的惯性系上。虽然地球质量极大,在处理一般问题的时候可以认为是很好的惯性系,可是就在现在这个小问题上这个近似出现问题了。请听我慢慢讲解。…