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16
Mar

最小作用量原理与物理之美4——构建整个世界

作者: physixfan

有人曾经问过我有没有一个公式可以描述整个世界,我的回答就是,可能会有,这个定律很可能就是最小作用量原理。《可怕的对称》生动地说道:整个宇宙的终极设计可以写到一张餐巾纸上,那一行紧凑的公式可以推导出所有物理定律。而那张餐巾纸上写的,其实就是作用量S的表达式。我们前面看到了S在几何光学中的特例,也看到了他在经典力学中的特例。终极设计的S中一些量为常数,就可以退化成各种各样的特例。在电磁学、热学、相对论、量子力学中,S也有各自的退化形式。而一旦终极设计的S中的所有项我们都弄清楚了,我们也就可以自豪地宣称我们理解宇宙了。可惜我们离这个梦想还差得很多。

当年20世纪初的时候,物理学大厦貌似被全部推翻了,似乎一切旧的理论都被新的理论所取代了。但是,“在如此多的废墟中间,还有什么东西屹立长存呢?最小作用量原理迄今未经触动,人们似乎相信他会比其他原理更久长。事实上,它是更加模糊,更加抽象。”庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)如是说。他还说道:“作为普遍的原理,最小作用量原理和守恒原理具有极高的价值,他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的,因此,他们仿佛代表着无数观察的精髓。”确实,很难想象最小作用量原理会被推翻,因为在最小作用量原理之外我们想不到还有什么更普遍而真实的原理了。现代物理已经全部构建在最小作用量原理之上,如果发现最小作用量原理不成立了,那可以说整个物理就没有什么对的东西了。…

16
Mar

逝去的新加坡

作者: physixfan

上午刚刚知道新加坡要招生,下午学校内的推荐名单就已经出来了。学校的目的可能就是不让我们思考太多。
想起了两年前,刚刚直升上的时候。我们26中和育才有特殊的待遇,新加坡可以直接到我们这里来招生。那个时候可是经历了一番艰苦的抉择,最终那巧合的一天,在去美国的签证与新加坡的考试之间,我还是选择了美国。在美国那一个月的逍遥,使我对新加坡逐渐淡忘了,忽然今天他们又来了。
我从刚开始报名就坚定了信仰不去新加坡,报名就是为了玩玩儿。赵老师对我们班一开始报名那么多人非常的恼火,尤其是反对像我这种并不是很想去却要报名考试的。校内的推荐名单中没有我的名字,因为我在签名确认时退出了。报名时我看到了几个初中同学,我确实不应该为了自己玩玩儿把他们挤下去。
刘菲因为成绩太好被劝了回来,不知道学校这样做是为了自己的升学率还是真的替学生着想。我们班最后是夏雨后和邹振鹏被推荐上了,希望他们将来不要后悔自己的决策吧。
当时初中因为新加坡落选而悲痛的朱玉可现在没见他报名,考上却被妈妈阻止的于慧琳也没有报名。看来两年的时间确实可以使人的激情耗尽,我们都没有了当年那种对新加坡的好感。
去年,赵一夫回国了一次。见到如今已是新加坡人的赵一夫,我心里有种莫名奇妙的感觉。不知道他选择新加坡是明智还是一时糊涂,惟有时间能证明一切。
新加坡的机会已经逝去,我正在期待重返美国的机会。…

15
Mar

最小作用量原理与物理之美3——牛顿力学

作者: physixfan

就像最小作用量原理可以推导出所有几何光学定律一样,力学中也存在一个最小作用量原理的特例可以推导出整个牛顿力学。今天我们就来研究研究这个。

有这样一个事实:假定有一个质点在引力场中通过自由运动从某处移动至另一处——你把它抛出去,他就会上升又落下。如果画出x-t图(为了简化,只考虑一维的运动,设x轴是竖直的轴),那么运动图像是一条抛物线。你可以尝试着通过起点和终点画一些别的曲线,如果计算出经历整条路径期间动能减重力势能对时间的积分,你会发现所获得的数值比实际运动所获得的要大。如果我们设作用量S为

那么上面的事实换句话说就是作用量S在实际运动中取得最小值。对上面字母的解释:t1、t2表示运动的起点和终点时刻,1/2*m*v^2是研究物体的动能,V(x)是其势能(这里把它写成是随x变化的函数)。当物体只受重力的时候,V(x)=mgx。我们在上一篇文章中说过,一个泛函取得极值可以令其变分等于0,所以在力学中,最小作用量原理的特例就写作:…

9
Mar

最小作用量原理与物理之美2——费马原理

作者: physixfan

对于几何光学中的许许多多的定律,费马找到了一种统一的描述,现在被称为费马原理,被认为是最小作用量原理在几何光学中的特例,是最小作用量原理最早的成功例子。上一篇文章并没有真正写最小作用量原理,写的仅仅是一些简单的极值问题(千万不要认为那就是最小作用量原理),而本文与下一篇文章则将写最小作用量原理在几何光学与动力学的特例,并给出比较精确的数学公式(这是为了后面的横向比较和更深刻地理解最小作用量原理),对微积分头痛的人可以跳过公式只看文字。

费马原理是这么说的:过空间中两定点的光,实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。
其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是:

其中,δ是变分符号,p1、p2表示空间中两个固定点,n为介质的折射率,s表示路程。为了理解上式的含义,我们需要和导数做一个类比。我们对一个函数求导数,如果导数值等于零,那么可以判断出原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。上面的式子和导数有一个显著的不同,导数研究的是以字母为自变量的函数的极值,而上式想求的则是以一个函数(位置随时间变化的函数)为自变量的泛函的极值。我们把每一条路径看作是位置随时间变化的函数,把这个函数看作自变量,我们要求的则是各条路径中光程取极值的那条路径;就像我们求导求的是各个x中使得y取极值的那个点。函数求极值可以用导数,泛函求极值则可以用变分法,即δS=0(其中S是一个泛函)。大家就把δ理解成和导数相类似的东西就可以了。…

2
Mar

最小作用量原理与物理之美1——自然中无处不在的极值

作者: physixfan

观察自然界的各种现象,会发现极值往往出现。知道这一点非常重要,在最小作用量被明确提出之前,人们已经研究了很多极值问题。我们先来看一些比较简单的极值问题,会对最小作用量原理有一个更深刻的认识,也能从中看出最小作用量原理的起源与历史。

物理定律都有两种表述形式:一种是普通的我们高中学的形式,current用力、加速度、电场强度等概念描述的物理定律;另一种是极值的形式,在一个物理过程中某个量取得极值。这两种表述形式是等价的。

先看一个最简单的例子,如图,两个电阻R1、R2并联,输入的电流为I,求I1、I2是多少。
这个问题初中生都会做,用并联时电压相等加上欧姆定律就可以作了。可以容易的求得

现在我们换一种方法:I1、I2的取值使得热功率最小。…

1
Mar

最小作用量原理与物理之美0——导言

作者: physixfan

爱因斯坦说过:“我想知道上帝是如何设计这个世界的。对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我不感兴趣。我想知道的是他的思想,其他的都只是细节问题。”近代物理隐隐约约的表明,我们人类似乎已经接近于上帝的终极设计了,最小作用量原理、对称与守恒可能就是上帝设计世界的原则。最小作用量原理、对称与守恒不同于F=ma、F=GMm/r^2、F=kx、F=kQq/r^2这类的普通物理定律,他是物理定律的定律,是一切其他普通物理定律的基础。

最小作用量原理是一个令人神往的课题,费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了,我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个原理时,真是有种无法言表的喜悦,好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识,同时越来越被这伟大的原理所吸引。…