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Posts from the ‘Interesting Maths’ Category

31
Dec

一个关于级数的疑问

大家应该很熟悉ln2的级数展开吧:
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+……①
把①两边每一项乘以1/2得到:
1/2*ln2= 1/2 -1/4 +1/6 -1/8+……②
上面②的数字间距比较大仅仅是为了与①的相关数字对齐。把①②相加,按照纵列结合各项,于是我们得到
3/2*ln2=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+……③
我们惊奇地发现,③的右边仅仅通过顺序的变换就可以得到①的右边,但左边却确确实实的不相等!难道无穷级数不支持交换顺序的运算?
有的人马上举出1-1+1-1+1-1+……这个著名发散级数跟我说无穷级数肯定不能交换顺序,可是一定要明确①和③两边是收敛的阿!收敛就决定了这不是个太小儿科的问题。
到底是从①变到③的某个过程不被允许,还是连收敛级数也真的不能交换顺序?我期待有谁能给我个令我信服的答案。

update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了,感谢网友们的帮助!…

26
Aug

迭代法求平方根

很久以前看过求平方根的这么一个方法,是用的迭代,按下面这个公式进行迭代即可求出a的平方根:
Xn=(Xn-1+a/Xn-1)/2 (n>0)
其中X0可以随便取一个数。当Xn-Xn-1满足精度要求时,即可输出Xn作为答案。

很长时间以来都想不明白,为什么通过这样的迭代会算出平方根。上网查他的原理也没查到。最近在《边缘奇迹——相变与临界》上看到了重正化群中类似的东西,我恍然大悟,想到了怎样来理解。
我们画出y=(x+a/x)/2的图像,再在同一坐标系内画出y=x。如下图(a=2):…

24
Aug

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

今天看到《数学家的眼光》(张景中著)写到了一个巨赖皮的数学证明方法,叫例证法,看完我都惊得不行了,就写到这里来和大家分享一下。
为了说明例证法,我们举一个简单的例子。试证明:(x+1)(x-1)=x^2-1。我们假设我们不会做(这不是在贬低你的智商阿)。现在我就讲一个所有人都肯定能学会的方法,用例证法来证明!

证明:令x=1代入原式,发现等式成立。
令x=2代入原式,发现等式成立。
令x=3代入原式,发现等式成立。
所以原式恒成立。

你看了可能会狂笑不止,有种想揍我的冲动,这什么东西,举了3个例子就说证明了原式?证明等式成立可必须是所有x都满足才行啊!可是,且慢,我可以告诉你,这样证明是严谨的。不信就听我仔细分析。…

22
Aug

一个有趣的级数

估计有不少人知道这样一个公式,1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=π/4

我很小的时候就见过这个,貌似叫莱布尼茨公式,觉得相当有意思,一些自然数的加减乘除居然出现了π!之后我对这个公式思考了好长时间,总是想不出来怎么来证明。我一直把这个问题记在心里,期盼着那一天能找到他的证法。

我曾经专门找过微积分的书和有关级数的数,遗憾的是,这么经典的一个无穷级数求和居然都没有写到。我近日在数学吧问了一下,好象没有初等数学的证明,有人贴出来了一个不过我没看明白。
有意思的是,今天在读《费曼物理学讲义》有关谐波的章节时,居然看到了这个等式的证法!呵呵,我都惊喜得不行了,居然在经典物理书里面看到了有意思的数学证明!我想把这个证法贴出来,供大家欣赏,相当精彩啊,不过没学过微积分的就不用看了。…

14
Jul

爱的方程式

3
Jun

一张图证明著名等式


如图,从内到外各圈正方形的边长依次是1,2,3,4……通过面积的两种表达形式,就可以证明结论中的著名等式!
解释一下:第一个算式是把面积一圈一圈加起来,第二个是总边长的平方。…