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曲率辨析

今天才意识到，学物理的人说二维曲面的曲率（curvature）的时候，其实有两种不同的定义… 一种是微分几何里那种定义（Gaussian Curvature）；另一种只是简单的定义为曲面函数的拉普拉斯算符（Laplacian）… 而且貌似很多人在说起曲率的时候理所当然的都觉得大家都用的自己的那种定义，而不知道有另外一种定义存在，于是造成了我对这个概念一直以来就有点混乱，现在终于清楚了… 这篇文章稍微详细的辨析一下这两种曲率的定义。

首先我们假定研究的是二维曲面 f(x,y)，然后假定曲面上的两个 Principal Curvature 为 \(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)。

（1）曲率的第一种定义 Gaussian Curvature 为 \(K_G=\kappa_1*\kappa_2\)。这种定义是微分几何中会见到的定义，这种曲率是 intrinsic 的，是那个跟三角形内角和的大小直接联系的曲面曲率，见 Gauss-Bonnet Theorem。

（2）曲率的第二种定义 Extrinsic Curvature 为 \(K_E=\kappa_1+\kappa_2\)。还有一种与之相关的名称是 Mean Curvature，\(K_M=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)=\frac12 K_E\)，这二者只相差一个无关紧要的系数。Extrinsic Curvature 有这样一个性质：在曲面的梯度很小这一近似下，Extrinsic Curvature 与 曲面函数的 Laplacian 是相等的，这类似于一维曲线的曲率与二阶导数相等，具体讲解可见…

如何学会打水漂？

//本文是我在知乎上的回答《如何学会打水漂》，后来很荣幸被推荐到了知乎日报《在强大的科学研究指导下，学会打水漂》。

一篇2004年的 Nature 文章[1]里介绍了打水漂的秘诀：神秘角度20°。这篇文章通过系统的实验发现，无论自旋角速度、抛射速度如何，石头与水面的攻角在20°时，石头与水面的接触时间都最少，而该接触时间决定了能量损耗的大小，接触时间越短能量损耗越少，因此20°角是打水漂的关键。注意这里攻角的定义是石头圆盘那个面与水面的夹角，不是入射速度方向与水面的夹角（此角度在15°~40°之间都对结果影响很小）。

后来一篇2005年的 PRL 文章[2]通过数值模拟重复出了同样的结论，并且给了理论解释。上图出自[2]。…

湍流 Spectrum 与 Cascade 的理解

//本文是我在知乎上的回答《学物理过程中，你有哪些问题是当时理解的比较肤浅，后来突然豁然开朗了？》。

近期在研究湍流有关的东西，就说说对湍流 spectrum 和 cascade 的理解吧。

最初接触湍流的 spectrum 和 cascade 是著名的 K41 Theory (Kolmogorov 1941 Theory) 。针对三维流体，通过假设湍流在小尺度上各向同性，再假设存在一个不是k的函数的常数 energy dissipation rate \(\varepsilon\)（意为单位时间内耗散掉的能量），那么我们可以一定的空间尺度范围内得到三维流体的 energy spectrum:

\[E_k=C\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}\]其中k是波数；\(E_k\) 是 energy spectrum，它是能量的傅里叶变换，它与能量的量纲关系为 \([E]=[E_k]*[k]\)（需要注意的是，流体里说的所谓能量其实是通常含义下的能量密度除以质量密度，即 \(E\sim\mathbf{v}^2\)，v为速度）；C是一个 universal 的无量纲常数。Energy spectrum 的图像如下图（双对数坐标）：

斜率 -5/3 是 K41 理论的著名结论，已经被无数数值模拟所验证。得到这个 …