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伯努利方程的适用范围

伯努利方程的适用范围这一问题由上一篇日志《开窗行驶的汽车 车内vs车外哪里压强更高？》所引起。如果按照伯努利方程的话，定常流动的条件要求以车为参考系来分析，所以是车内空气流速小故压强大。这一分析不仅仅是我一个人的答案，在网上搜此问题得到的答案基本都是一样的思路。但是网友@Chengu Wang指出，一篇论文《轿车开窗行驶时的气动阻力分析》里的数值模拟显示，车内空气流速虽然小，但是同时压强也低于车外。这让我深深困惑，因此这几天我自学了一下用Fluent做流体力学的模拟。自己完整地设置了所有条件，确保自己知道自己在干什么，最后得到的结果与前述论文中的相同：车内空气流速小同时压强也小。下图为 流场图和压强图：…

【Update】开窗行驶的汽车 车内vs车外哪里压强更高？

Update：这篇文章原文的回答思路其实是错误的，对于引起的误导实在抱歉！具体分析见新一篇文章《伯努利方程的适用范围》。

/****************以下是错误的原答案*****************/

开窗行驶的汽车 车内车外哪个压强更高？通常大家会直接想到伯努利原理——流速大则压强小，如果以汽车为参考系，则车窗外空气流速大因此压强小。可问题是，如果以地面为参考系，那车内空气又是流速更大的了，因此会导致相反的结论。我以前学到伯努利原理的时候也有过这一困惑，如何解释这一矛盾呢？到底是哪个参考系的流速决定了压强大小？

首先要回顾一下伯努利方程的推导，见伯努利原理_百度百科。可见，推导时需要用到定常流动这一假设，即速度场等流体性质不随时间而改变。如果以地面为参考系，车是在移动的，势必会造成流场不是定常流动，因此地面参考系不满足伯努利原理的前提条件，在地面参考系使用伯努利原理是错误的。在汽车参考系对车外的空气做一些假设则可以认为是定常流动，此时可以认为车窗内空气流速小所以压强大。

以地面为参考系来解这个问题自然也是可以的，从最基本的具有伽里略不变性的Navier-Stokes方程出发直接数值求解是正确的做法之一，只是要小心边界条件是随时间变化的。但是在地面参考系使用伯努利原理就是错误的了。

知乎上有一个相关问题的精彩答案 汽车行驶时从开着的窗户吹进来的空气最终是从哪里流走或者转化了的？ 里面 @stevenliuyi 给出了一张模拟的汽车内外流场图（以汽车为参考系），可以给大家一个更深刻的印象：

在流体力学里如果想要转换坐标系需要特别的注意，我自己在学习流体力学的过程中以及最一开始写这个问题答案的时候都犯过错误。固定边界（以形成定常流动）是最常用的流体力学边界条件，很多结论都依赖于此边界条件，但是它太常用以至于很多时候我们都没有意识到一些结论是依赖这个边界条件的，换了参考系就不能直接使用了。在流体力学中转换参考系需要谨慎再谨慎。

//转载自知乎上此问题我自己的回答 打开车窗，风为什么从车外向车里吹？…

批判性地读paper

要用批判性的眼光去读paper，即使是引用上千的经典paper和大牛写的paper。这学期两门课的final paper让我对这件事有了更深的体会。

第一门课的final paper是关于重整化群在湍流上的应用的，我当时在网上搜到了一篇 Yakhot & Orszag 1986，引用2000+，在物理领域尤其是湍流方向肯定算是经典paper了。这篇文章做出的结果非常令人激动人心：它不仅可以重现湍流领域最重要的理论成果Kolmogorov Law E(k)=Cε^(2/3)k^(-5/3)，还可以计算出这个比例系数C！在这之前C从来都是只能实验或者模拟来得到的，所以能直接从理论出发推导出它的值绝对是个厉害的成果，再加上这篇paper里还计算出来了许多湍流模型里的各种系数，而且全都和实验数据差不多吻合，所以一开始有人甚至都说湍流问题被他们用重整化群给解决了。

花了几天时间去读这篇paper，却有几个地方让我越读越觉得诡异。其中最让我不能理解的是这样一件事：这篇paper为了重现Kolmogorov Law的指数-5/3，需要让一个参数ϵ的值等于4，但是在这篇文章的一个核心的地方却把ϵ给当做小量展开了只保留到一阶…居然可以这样搞？！抱着这些疑问去找我老板，他对我说的第一句话就是：“You need to read this paper critically!” 的确有好些问题是我没有理解到位然后被老板解惑了，不过这个把一个等于4的参数当小量展开的事情，老板也因为是太久以前读的这篇paper了所以没有办法解答。后来从他给我推荐的几篇其他相关paper来看，这个所谓的小量展开的确是被后来的很多人批评诟病的事情，我的看法没错。其实这篇文章还有更根本的物理图像上的问题，我自己水平有限因此没有看出来，在老板的讲解下才恍然大悟。原来所谓的这么多引用的经典paper也有值得讨论和商榷的地方啊！

第二门课的final paper我读的是文小刚老师的弦网凝聚的paper。…

照镜子为什么是左右颠倒，而不是上下颠倒？

这是个虽然简单但是很有意思的问题，以前也曾跟同学讨论过。今天看到在知乎上这个问题的回答里有很多人写的太复杂，所以这里写一个尽可能简洁易懂的回答。为了简洁，这里只讨论最容易引起问题的那种情景，即人站立时正面照镜子。

这个问题的核心在于各个方向的定义，为此需要做一个区分，物理上和感官上的定义其实是有区别的。

物理上，镜子真正颠倒了的方向只有前后，而上下左右都没有颠倒。说的更严谨一点，如果设x为垂直于并指向镜面的方向，y为上，z为右，则镜子的作用是：x变为-x，y变为y，z变为z。

而感官上，对人类来说，前后的定义是眼睛冲着的方向为前，上下是头脚的方向，而左右是什么呢？只能用叉乘来定义了，前叉上为右。镜子里仍然以眼睛冲着的方向为前，故前为-x方向；镜子里头脚的位置没变，所以上下不颠倒，故上仍为y方向；于是通过叉积的定义，右=前叉上=(-x)叉y=-z，于是此时左右就被颠倒了。

最后总结一下就是说，感官上，上下的定义是根据绝对位置的，但左右的定义是相对的，所以最后在人类看来是上下不颠倒而左右颠倒了。…

Turbulence 和 Chaos 的辨析

Turbulence 和 Chaos 这两个现象，在一定意义上说是相似的：都是会使系统产生类随机的运动，无法给出方程的完全解析解。但是这又是两个不同的词，在其各自的语境下使用着相当不同的研究方法去研究。于是很长时间我都有个疑问，turbulence和chaos到底是怎样的关系？今天跟一个老师讨论了一下，似乎他的解释相当靠谱。

Chaos的定义是，在相空间中两个最初靠的很近的轨线，其距离会随着时间推移指数增长。于是产生Chaos的系统首先得有一个相空间，这要求系统有有限多个自由度。然而最初产生Turbulence的方程Navier-Stokes方程本质上则是场方程，速度场\(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)\)是空间坐标的函数，空间的连续性就意味着这是个无穷多自由度的问题。无穷多自由度和有限个自由度的问题还是有着本质的区别的，这也就是为什么在研究Turbulence的时候不怎么讨论相空间啊吸引子啊Lyapunov指数啊什么的原因了。当然，如果引入其他假设来建立Model化简Navier-Stokes方程的话，它也可以用Chaos理论来研究的，比如最初让大家开始讨论Chaos的Lorenz方程组就是这么来的。更提纲挈领地看这个问题的话就是：常微分方程组可以用Chaos理论来研究，但是产生Turbulence的系统来自于偏微分方程，而偏微分方程的一般理论仍然是一个发展尚未成熟的数学领域，因此人们对Turbulence就没有很好的理论去使用了。

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