代数基本定理的一个最简单证明
//看懂本文需要且仅需要关于复数的基本概念。
代数基本定理，是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。从代数基本定理可以很显然的推论出我们可能在初中就已经熟悉的一个结论：一元n次方程必有n个根。虽然大家都已经对这个定理感到习以为常，但是其实它并不是显然的，因为如果只考虑实数，一元n次方程就不一定有根。当把研究对象拓展到复数时，一下子所有代数方程就有解了，这其实是一件很不显然的美妙结论。
关于代数基本定理，有很多很多种证明方法。貌似第一个证明是牛逼哄哄的高斯在博士论文中给出的…基本所有的证明方法都或多或少的用到了一些比较高等的数学，对于只有高中数学知识的人来说很难看懂。即使是《什么是数学》里给出的证明，也用到了一个并不是那么好理解的“卷绕数”的概念。但是，下面要给出的证明，只需要有关于复数的基本概念就可以理解，只要几句话就证明完毕了！此证明由北大数院的范后宏老师在“古今数学思想”课上提供。
代数基本定理证明：
设$$w(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+…+a_0$$
于是我们想要证明的结论就是：一定能找到某个z，使得w(z)=0。
我们先把z写成$$z=re^{i\theta}$$的形式。
首先，我们考虑r=0的情况。这时w(0)将是复平面上的一个点，并且这个点就是a0，且a0不等于0。（如果a0等于0那z=0就是原方程的解了，定理直接得证。）
然后，我们再考虑0<r<∞的情况。对于一个固定的r，如果这时我们让θ从0到2π连续变化，那么对应着w(z)将会在复平面上画出一条封闭的曲线，如下图。这个曲线可能是很扭曲的形状，也不一定是绕了一圈的，可能绕了很多圈。比如w(z)=z^2，当z的辐角从0到2π连续变化时，w(z)将在复平面上绕着一个圆转两圈。在这里我们并不关心这条曲线的具体形状。
最后，我们再考虑r->∞的情况。此时当z的辐角从2π连续变化时，显然w(∞)的所有值都将是无穷大（因为此时只有z的最高阶项是起作用的，而它前面的系数是1），对应着就是w(∞)将在复平面上的无穷远处画出一条封闭曲线，见下图。…
赌场是凭借这个方法赚钱的吗？
众所周知，去赌场赌博，赢钱的一定是庄家。通过概率的不均等让你赔钱你肯定陪得心服口服，但是有人提出了这样一种赌场赚钱的方法，即使是输赢概率为1/2赌场也会赚钱，乍看起来似乎确实有道理：
就假设赌徒跟赌场玩的是赌大小的问题，输赢概率是严格的1/2。赌徒身上带着5元钱，每次下注1元。如果赌徒身上的钱在某个时刻输光了，那么赌徒就会离开赌场回家；如果赌徒连续赌了1000次都没有输光，赌徒在这个时刻就会停止赌博结算完毕回家去。如此一来，利用赌徒停止赌博两个边界条件的不对称性，随着赌徒增多，赌场就可以从中赚钱了~！
乍看似乎确实有道理，因为不仔细想的话会觉得赌徒输钱离开赌场的概率似乎确实比较大。但是如果写一个程序跑一跑看看赌场最终会赚多少钱，结果会出乎意料：赌场赚到的钱数将会在基本上以0为中心的一个范围内震荡，并不会随着赌徒人数增多而增多！
问题出在哪呢？其实这个结果也不算过于出乎意料。因为虽然赌徒输钱离开的概率是比较大的，但是他赔的钱就那么些；但是赌徒如果是赌了1000次才离开的，走的时候赚走的钱数可能相比而言是很多的。于是二者的作用是有可能恰好抵消的。如果你有耐心做详细的定量数学计算的话，其实是可以解析的给出这个问题的结果的，赌场赚到的钱数随赌徒人数怎么变化是可以精确算出来的。
但是还有一种很巧妙地思路可以一下子看出来，其实赌场从期望上来说就是不赚的！仔细想一下：…
关于自由意志
最近越来越倾向于这样一种观点。自由意志，或者说主观能动性，或者说做选择的自由，其实只是一种假象。在我看来，它其实等于基因＋过去的经历的总和＋物理定律固有的随机性。。而这三者没有任何一条是可以人为改变的。。。关于这个问题，本来想自己详细写一下我的想法，结果发现我同学wlsk已经在一篇《The Matrix》（黑客帝国）的影评里表述了和我完全相同的想法了，所以我直接一字不改的转载来吧。
再看《黑客帝国》三部曲：为什么人类应该选择留在Matrix里
原作者：wlsk
黑客帝国的剧情比较难懂，而且电影融入了大量哲学元素，如存在主义、结构主义、宿命论、后现代主义哲学等等。解析剧情的帖子网上有不少，这里我想讨论的不是剧情，而是在假设读者熟悉电影的情况下说说为什么留在Matrix里才是一个合理的选择。
绝大部分人都是希望神的存在的，甚至包括一些无神论者（希望不代表相信）。因为我们希望自己的存在是有意义的，希望有个全能的力量在冥冥中照看自己，希望能在神的指引下将世界建设的更美好。神的属性是什么？不同的宗教殊途同归：神是造物主；神是全知的；神是全能的；最重要的一点，神是关心人类的。美好的世界又应该具有什么属性（这里指的是现实世界，不是模拟出来的Matrix）？这个世界应当高度自动化；资源取之不尽；安全有绝对的保障；人类不需要努力就能获得高质量的物质生活和精神生活。
然后，我们会发现，电影中机器相对于Matrix的功能和神几乎是一样的：机器创造了Matrix，并具备创造不同版本的Matrix的能力。机器掌握着Matrix 99.99%的信息，并且掌控着Matrix中99.99%的事件的发展。甚至Morpheus、Trinity那帮黑客的信息和行为也是在掌控下的，因为先知都知道并在引导他们，而先知其实也是Matrix的一个程序。可能唯一不稳定的因素就是病毒化的特工Smith。最重要的一点，机器绝对是关心Matrix里人类的生活的。因为机器依赖于人体来发电，而人类在Matrix中活得越好在现实中也就活得更久、能发更多的电。从电影第一部中可知，第一个版本的Matrix被造的和天堂一般，仅仅因为太完美了里面的人不愿相信才导致了系统的崩溃。但是可以看出机器一直是想让人类在Matrix中越幸福越好，只是后来发现适度的苦难是必须的。另一方面，电影中的现实世界其实是很美好的，人类从出生到死什么都不用操心，维持生命的养料由机器直接输送到体内，真正的全自动化。呆在密封舱里有绝对的安全。每个人只要活着就是在“工作”，在发电养活机器的同时也是在养活人类，而这份“工作”不需要一丝一毫的努力。身体在现实中“工作”的同时，大脑还能在虚拟世界中享受高质量的物质生活（物质享受归根结底只是感官刺激罢了，不非要在现实中发生）以及精神生活（在Matrix里同样可以学习、可以思考、可以有各种人类情感，而这些大脑活动是不区分现实与否的，正所谓笛卡尔说的“我思故我在”）。这种生活就好比天天玩仿真电脑游戏的同时既能学到知识又能养活自己和他人一样，何乐而不为呢？但是人类坚持要逃出Matrix就不一样了，脱离了机器后人类只能藏在地下，生活条件恶劣，时刻面临被机器灭口的危险，励志解放人类却发现很多人不愿被解放，中途还死不少同伴，导致物质和精神上都倍受折磨。而且一旦和机器爆发全面战争，9成会输，即使能赢也将面临能源危机，根本养不活那么多被解放的人。所以人类不仅应该呆在Matrix里，而且应该在明知自己身处机器创造的虚拟世界中的情况下还选择呆在Matrix里，而且把机器的角色看作神的角色，把Matrix外的世界看作全自动化的理想现实世界。如果人类能欣然接受这种生活，还可以向机器提出要求，让机器为自己创造自己最喜欢的世界，或是让机器给自己输送源源不断的知识（像Neo花10小时被填鸭成武林高手那样）。只要你在为机器发电，机器当然会满足你的各种要求。这样一来人类和机器和谐共存，而且每个人都生活在自己的天堂中，可谓大同。…
对于教材写法的一点考虑
有感于Matrix67神牛的这篇文章（强烈建议大家去读一读），我也发表一下自己对于教材编写的一点看法。
1.对线性代数的吐槽
（没学过线性代数的同学请忽略下面3段往后接着看。）
我一直觉得线性代数用那种严格公理化的语言写成课本根本不适合初学者学习，一开始学习线性代数的时候，我本人对很多概念的直观意义根本就是完全不知道。我们的课本是丘维声的《简明线性代数》，我在此毫不掩饰的表示对这本教材的鄙视：这本教材居然是按照这样的顺序讲线性代数的：线性方程组->行列式->线性方程组的进一步讨论->矩阵的运算->一大堆东西->线性空间->线性映射->一大堆东西。这个狗屁顺序直接导致我前半个学期一直以为线性代数就是研究怎么解线性方程组的，我心想，这么简单的问题，具体问题谁都会解，值得这么大动干戈的定义出这么大堆东西么。。。一直到线性空间那一个章节以前，我完全就不知道线性代数整个是在干什么..后来学的多了我才知道，其实线性代数就是研究线性空间和线性映射的嘛，什么线性方程组，根本没那么重要。一个更加合理的顺序是：先讲线性空间、线性映射，其中明确说明矩阵就是线性映射，然后再讲行列式，然后线性方程组只作为一个例子出现就可以了。
然后在说说那个不靠谱的行列式。。我就不明白，国内的教材是基于怎样一种考虑，居然把行列式放在矩阵前面讲，放在线性映射前面讲。？于是就导致行列式的定义居然诡异的用到了逆序对，一上来就来这么个定义我们怎么可能明白行列式到底是个什么东西，它是干什么的？！还有矩阵的概念，我们的课本引入矩阵是从线性方程组引入的，于是让我在前半学期里面就仅仅以为矩阵就是一堆排成了方阵的数而已。。。于是我就死活不能理解，为什么矩阵之间还能引入乘法，乘法的定义还能那么诡异？！非要等到后面学到了线性映射，我们老师才终于跟我们讲清楚了：原来矩阵就是用来表示线性映射的嘛。。矩阵相乘就是表示先后做两个线性映射嘛，之所以那么定义矩阵乘法，就是因为这样定义了之后，乘得的新矩阵确实能够等价的表示先后做两次线性映射。。。但是行列式到底是什么，课本根本就到最后都没有说清楚。还是Matrix67文章里的一句话道清了本质：“其实，行列式的真正定义就一句话：每个单位正方形在线性变换之后的面积”。为什么所有的教材里就不能把这样一句话放在教材里呢？！
还有很多概念都没有讲清楚它们的直观意义到底是什么。有许许多多学经济或者学其他学科的同学，可能学完了整个线性代数也不明白，算特征值和特征向量到底是干什么的，为什么要研究这么诡异的问题。如果不是我们老师上课讲道它在量子力学里会体现出无穷重要的价值，我单看课本肯定不明白这是在干什么。特征值其实就是量子力学里的算符对应的可观测物理量（这点可能不学量子力学很难理解）。还有就是迹（trace）的概念，我至今没有搞清楚为什么要定义这么一个量，我根本就不知道它表示了什么。于是我就既记不住它的各种性质，也不知道我到底在何种物理问题里会用到迹这个诡异概念。你说我都完全不理解到这个地步了，学这个概念还有什么用？不光是我一个人的问题，我问了问身边的人，他们同样回答不出来迹是个什么。
国内好多同学应该都会对此有共鸣，因为我们国内的教材都是这样对概念只下严格数学定义，而基本上不作直观解释的，于是就导致很多很多人学完了线性代数都不知道自己学了些什么。理解数学概念的直观图像，其作用不仅仅是能够帮助记忆那些概念的性质，甚至可以帮助捋出证明思路，甚至都可以帮助数学家发明新的数学。可是现有的课本就是讲不清楚直观解释！
2.对理论力学的吐槽…
